导数的四则运算定理及推论

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：一、导数的四则运算定理2.3 若函数u与v可导，则1）函数u±v可导，且[u±v]′=u′±v′；2）函数uv可导，且[uv]′=uv′+u′v；3）函数可导，且.证只证2），其余类似可证.设y=uv，有Δy=uv-uv=uv-uv+uv-uv=u[v-v]+v[u-u]=uΔv+vΔu由定理2.2可知函数u连续，即.则即函数uv可导，且[uv]′=uv′+u′v.推论2.1 若函数u1，u2，…

一、导数的四则运算

定理2.3 若函数u（x）与v（x）可导，则

1）函数u（x）±v（x）可导，且[u（x）±v（x）]′=u′（x）±v′（x）；2）函数u（x）v（x）可导，且[u（x）v（x）]′=u（x）v′（x）+u′（x）v（x）；3）函数可导（v（x）≠0），且.

证只证2），其余类似可证.

设y=u（x）v（x），有

Δy=u（x+Δx）v（x+Δx）-u（x）v（x）=u（x+Δx）v（x+Δx）-u（x+Δx）v（x）+u（x+Δx）v（x）-u（x）v（x）=u（x+Δx）[v（x+Δx）-v（x）]+v（x）[u（x+Δx）-u（x）]=u（x+Δx）Δv+v（x）Δu

由定理2.2可知函数u（x）连续，即.则

即函数u（x）v（x）可导，且[u（x）v（x）]′=u（x）v′（x）+u′（x）v（x）.

推论2.1 若函数u₁（x），u₂（x），…，u_n（x）都可导，则函数

也可导，且[u₁（x）±u₂（x）±…±u_n（x）]′=u′₁（x）±u₂′（x）±…±u_n′（x）.

推论2.2 若函数u₁（x），u₂（x），…，u_n（x）都可导，则函数u₁（x）u₂（x）…u_n（x）也可导，且

[u₁（x）u₂（x）…u_n（x）]′=u′₁（x）u₂（x）…u_n（x）+u₁（x）u₂′（x）…u_n（x）+…+u₁（x）u₂（x）…u_n′（x）.

特别地，当v（x）=C是常数时，有[Cu（x）]′=Cu′（x）+u（x）（C）′=Cu′（x）.

例1 设.

解

例2 设f（x）=xsinx·lnx，求f′（x）.

解

例3 求正切函数tanx与余切函数cotx的导数.

解

类似地，有（cotx）′=-csc²x.

例4 求正割函数secx与余割函数cscx的导数.

解

类似地，有（cscx）′=-cotx·cscx.

二、反函数求导法则

定理2.4 若函数f（x）在x的某邻域连续，且严格单调，函数y=f（x）在x可导，且f′（x）≠0，则它的反函数x=φ（y）在y（y=f（x））可导，且.

证由定理1.1可知，函数y=f（x）在x的某邻域存在反函数x=φ（y）.

由于函数y=f（x）在x的某邻域内连续和严格单调，所以它的反函数x=φ（y）在y的某邻域内也连续和严格单调，且有Δy→0⇔Δx→0，Δy≠0⇔Δx≠0，则

故命题成立.

由于y=f（x）与x=φ（y）互为反函数，上述公式也可以写成.

例5 求指数函数y=a^x（a＞0，且a≠1）的导数.

解已知指数函数y=a^x是对数函数x=log_ay的反函数，则

即（a^x）′=a^xlna.

特别地，（e^x）′=e^xlne=e^x.

例6 求y=arcsinx的导数.

解由于y=arcsinx（x∈[-1，1]）的反函数是，则

类似地，有.

三、基本初等函数的求导公式

综上所述，列出如下基本公式，它们是导数运算的基础.

1）（C）′=0；2）（x^μ）′=μx^μ-1；3）（sinx）′=cosx；4）（cosx）′=-sinx；5）（tanx）′=sec²x；6）（cotx）′=-csc²x；7）（secx）′=secx·tanx；8）（cscx）′=-cscx·cotx；9）（a^x）′=a^xlna；10）（e^x）′=e^x；11）；12）；13）；14）；15）；16）.