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2023-06-30
导数：变速直线运动物体的瞬时速度
【摘要】：一、引例1.做变速直线运动物体的速度设物体沿横轴运动，路程s是时间t的函数s=f（t）.如果物体的运动是匀速的，当时间由t1改变到t2时，在这一段时间里的平均速度定义为.如果物体的运动是变速的，可以用它在每一时刻t0的瞬时速度v（t0）来更好地反映物体运动的状况.当时间由t0改变到t0+Δt时，以平均速度v作为瞬时速度v（t0）的近似值.显然Δt越接近0，平均速度v就越接近v（t0），v在Δt趋于
一、引例
1.做变速直线运动物体的速度
设物体沿横轴运动，路程s是时间t的函数s=f（t）.
如果物体的运动是匀速的，当时间由t1改变到t2时，在这一段时间里的平均速度定义为
.
如果物体的运动是变速的，可以用它在每一时刻t0的瞬时速度v（t0）来更好地反映物体运动的状况.
当时间由t0改变到t0+Δt时，以平均速度v作为瞬时速度v（t0）的近似值.显然Δt越接近0，平均速度v就越接近v（t0），v在Δt趋于0时的极限就是物体在时刻t0的瞬时速度的准确值，如下：
2.曲线的切线
设函数y=f（x）的图形如图2-1所示，过曲线y=f（x）上的一点P0（x0，y0），作这条曲线的切线.在曲线上另取一点P（x0+Δx，y0+Δy），过这两点可以作一条割线P0P，倾斜角为φ.
当Δx→0时，点P0趋于P，割线P0P的极限位置就是曲线过点P0的切线P0T，此时φ的极限为切线的倾斜角α，切线斜率为
图2-1
以上两个例子，具体含义不同，但是抽象的极限表达式却是一致的，称这种特殊的极限为函数的导数.
二、导数的概念
1.导数定义
定义2.1 设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量Δx（Δx≠0）时，函数f（x）相应地取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.如果极限
存在，则称函数f（x）在点x0处可导，此极限称为函数f（x）在点x0处的导数（或微商），记为f′（x0）或
.
反之，若此极限不存在，则称函数f（x）在点x0处不可导.
由此定义可知，第一个引例中的瞬时速度是路程s对时间t的导数，即
第2个引例中的切线斜率就是函数y对自变量x的导数，即
导数定义有时候也可以写成其他形式，如
或
若函数f（x）在区间I可导，则对任意x∈I，都对应着一个导数值f′（x），则f′（x）也是区间I上的函数，称为函数f（x）在区间I上的导函数，简称为导数，记为f′（x），y′或
.
例1 求函数f（x）=C（C为常数）的导数.
解 
.
例2 求函数f（x）=xn（n∈N+）在点x=a处的导数.
解 
.
例3 求函数f（x）=x（x＞0）的导数.
解 由
有
.
可以证明，对任意的实数α，有（xα）′=αxα-1.
例4 求正弦函数f（x）=sinx的导数.
解 由
有
.
同理，余弦函数cosx在定义域R内也可导，且
（cosx）′=-sinx.
例5 求对数函数f（x）=logax（a＞0，且a≠1，x＞0）在x的导数.
解 由
有
，特别地，当a=e时，
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2.导数的几何意义
由第二个引例可知，导数的几何意义（见图2-1）是：若曲线的方程是y=f（x），则曲线在点P0（x0，y0）处的切线斜率就是f（x）在点x0处的导数f′（x0）.
由此可得曲线在点x0处切线的点斜式方程为
y-y0=f′（x0）（x-x0）.
法线方程为
例6 求曲线y=x3在点P（x0，y0）处的切线与法线方程.
解 由于
，所以y=x3在P（x0，y0）处的切线方程为y-y0=3x20（x-x0）
当x0≠0时，法线方程为
当x0=0时，法线方程为x=0.
3.左、右导数
定义2.2 设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，若左极限
存在，则称函数f（x）在x0左可导，并称此极限为函数f（x）在点x0处的左导数，记作f-′（x0），即
类似地，可以定义函数f（x）在点x0的右可导及右导数
左、右导数统称为单侧导数.
若f（x）在（a，b）内处处可导，且在点x=a处右可导，在点x=b处左可导，就称f（x）在[a，b]上可导.
由极限存在的充要条件，可得
定理2.1 函数f（x）在点x0处可导的充要条件是f（x）在x0的左、右导数都存在且相等.
例7 讨论f（x）=x在点x=0处的连续性和可导性.
解 由题，
的图像如图2-2所示，因为
所以f（x）=|x|在点x=0连续；又因为
左、右导数不相等，所以在点x=0 f（x）=|x|不可导.
图2-2
三、可导与连续
定理2.2 若函数f（x）在x0可导，则函数f（x）在x0连续.
证 设在点x0处自变量的增量是Δx，相应地函数的增量是
Δy=f（x0+Δx）-f（x0）
由
.
则函数f（x）在点x0处连续.
本定理的逆命题不成立，例7就是一个反例.
例8 求常数a、b，使得
在点x=0可导.
解 如果f（x）在点x=0可导，则该函数必在此点连续，故
=f（0），所以e0=a·0+b，则b=1.
如果f（x）在点x=0可导，则此点处的左、右导数必然存在且相等，
所以由f-′（0）=f+′（0），得a=1，此时f（x）在x=0点可导.
综上所述，所求常数为a=b=1.
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