数学中的连续函数之定义与性质

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：现实生活中，很多变量的变化是连续不断的，比如气温的变化、植物的生长、物体受热时面积的变化等，都是连续的变化.这种现象在数学上用函数的连续性来反映和研究.一、连续函数的概念定义1.21 在函数y=f（x）的定义域中，设自变量x由x0变到x1，差Δx=x1-x0叫做自变量x的增量（改变量），相应的函数值的差Δy=f（x1）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）叫做函数y=f（x）的增量（见图1-1

现实生活中，很多变量的变化是连续不断的，比如气温的变化、植物的生长、物体受热时面积的变化等，都是连续的变化.这种现象在数学上用函数的连续性来反映和研究.

一、连续函数的概念

定义1.21 在函数y=f（x）的定义域中，设自变量x由x₀变到x₁，差Δx=x₁^-x0叫做自变量x的增量（改变量），相应的函数值的差Δy=f（x₁）-f（x₀）=f（x₀+Δx）-f（x₀）叫做函数y=f（x）的增量（见图1-13）.

其中，Δx、Δy是完整的记号，它们可正、可负也可为0.

气温是时间的函数，当时间变化不大时，气温的变化也不大.同样道理，时间变化不大时，植物的生长、物体受热时面积的变化也不大.从这个角度，就可以刻画函数的连续性.

定义1.22 设函数f（x）在x₀的某一邻域内有定义，如果当自变量x在点x₀处的增量Δx趋于0时，相应的函数增量Δy也趋于0，即

则称函数y=f（x）在点x₀连续（见图1-14、图1-15）.

图1-13

在定义1.22中，若令x=x₀+Δx，即Δx=x-x₀，从而Δx→0等价于x→x₀.又Δy=f（x₀+Δx）-f（x₀）=f（x）-f（x₀），从而由连续定义有

即.

图1-14

图1-15

定义1.23 设函数y=f（x）在x₀的某一邻域内有定义，如果，则称函数y=f（x）在点x₀连续.

例1 证明函数在x=0处连续.

证因为，且f（0）=0，所以.

由定义可知，函数f（x）在x=0处连续.

根据左、右极限的定义，类似地可以得到左、右连续的定义.

定义1.24 设函数y=f（x）在点x₀及其左邻域（或右邻域）内有定义，若f（x）=f（x₀）（或=f（x₀）），则称函数f（x）在点x₀左连续（或右连续）.

显然，函数y=f（x）在点x₀处连续的充要条件是函数y=f（x）在点x₀处既左连续又右连续.

例2 讨论函数在x=0处的连续性.

解因为，.

所以，函数f（x）在x=0处右连续但不左连续，从而函数f（x）在x=0处不连续.

定义1.25 如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点都连续，则称函数f（x）在区间（a，b）内连续；如果函数f（x）在（a，b）内连续，同时在a点右连续，在b点左连续，则称函数f（x）在闭区间[a，b]上连续.

例如，由极限的运算法则可知，多项式函数f（x）=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n和有理分式函数（其中，P（x），Q（x）均为多项式，且Q（x₀）≠0）在实数集R内连续.

例3 证明f（x）=sinx在R内连续.

证任取x₀∈R，自变量在x₀处获得增量为Δx，令x=x₀+Δx.由不等式与

得

故

所以正弦函数sinx在x₀连续.由x₀的任意性，sinx在R内连续.

二、函数的间断点

从连续的定义可知，f（x）在点x₀连续必须满足三个条件：

1）f（x）在点x₀有确切的函数值f（x₀）；

2）当x→x₀时，f（x）有确定的极限；

3）这个极限值就等于f（x₀）.

定义1.26 如果函数y=f（x）在点x₀处不满足连续性条件，则称函数f（x）在点x₀间断（或不连续）.点x₀称为函数f（x）的间断点（或不连续点）.

显然，f（x）在点x₀不满足连续性定义的条件有三种情况：

1）函数f（x）在点x₀无定义；2）函数f（x）在点x₀有定义，但不存在；

3）函数f（x）在点x₀有定义，且存在，但.

对间断点，可按其产生间断的不同原因进行分类.

定义1.27 若f（x）在点x₀的左、右极限都存在，但不都等于f（x₀），则称点x₀是函数f（x）的第一类间断点；

若f（x）在x₀的左、右极限至少有一个不存在，则称点x₀为f（x）的第二类间断点.

若f（x）在x₀的左、右极限存在且相等，但不等于f（x₀），或f（x₀）无意义，称点x₀为f（x）的可去间断点.

例4 ，讨论f（x）在x=1点处的间断情况.

解因为，但f（x）在x=1点无意义，故在x=1处f（x）间断.

若补充定义，则f（x）在x=1处连续，x=1是f（x）的可去间断点（见图1-16）.

图1-16

例5 设，讨论f（x）在点x=1处的间断情况.

解因为，所以

故x=1是f（x）的可去间断点（见图1-17）.

若改变f（x）在x=1处的定义使得f（1）=1，则f（x）在x=1处连续.

若f（x）在x₀的左、右极限存在但不相等，则称点x₀为f（x）的跳跃间断点.

图1-17

例6 ，讨论f（x）在点x=1处的间断情况.

解，，所以x=0是跳跃间断点（见图1-18）.(www.chuimin.cn)

可去间断点和跳跃间断点都属于第一类间断点.

若f（x）在x₀的左、右极限至少有一个是无穷大（∞），则称点x₀为f（x）的无穷间断点.

图1-18

图1-19

例7 设，讨论f（x）在点x=0处的间断情况.

解函数在点x=0左、右极限都不存在，且都是∞，故x=0是该函数的无穷间断点（见图1-19）.

若f（x）在x₀的左、右极限至少有一个是振荡的，则称点x₀为f（x）的振荡间断点.

例8 设，讨论f（x）在点x=0处的间断情况.

解函数在点x=0的左、右极限都不存在，且都是振荡的，所以x=0是该函数的振荡间断点（见图1-20）.

无穷间断点和振荡间断点都属于第二类间断点.

图1-20

三、连续函数的运算性质

定理1.17 若函数f（x）与g（x）都在点x₀连续，则函数f±g、f·g、（当g（x₀）≠0时）在x₀也连续.

此定理可由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则证明，留与读者.

定理1.18 连续函数的复合函数是连续的.

证设函数u=φ（x）在x₀连续，且u₀=φ（x₀），而函数y=f（u）在u₀连续，即.则.

故复合函数y=f（φ（x））在点x₀连续.

同样可以证明，基本初等函数在其定义区间内是连续的.进而可以证明一切初等函数在其定义域内都是连续的.这样，利用函数的连续性就可以直接代值来求函数的极限.

例9 求.

解利用函数连续性及等价无穷小代换，得

例10 求.

解利用函数连续性，得

四、闭区间上连续函数的性质

定理1.19 （有界性定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]上有界.即存在K＞0，对于任意给定的x∈[a，b]，有|f（x）|≤K.

一般来说，开区间上的连续函数不一定有界.例如，在（0，1）上连续，但它无界.

定理1.20 （最值定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必有最小值和最大值.即在[a，b]上至少有一点ξ₁，使f（ξ₁）是f（x）在[a，b]上的最小值；又至少有一点ξ₂，使f（ξ₂）是f（x）在[a，b]上的最大值（见图1-21），即f（ξ₁）≤f（x）≤f（ξ₂）.