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2023-11-19
高等数学：两个重要极限的证明及应用
【摘要】：），就称数列{xn}有下界.统称为有界数列.准则Ⅱ的证明从略.准则Ⅱ可推广到函数情形中去，在此不再赘述.例5 证明数列收敛，并求其极限.解 数列显然是单调递增的，是否有界很容易用数学归纳法证明，而且an+1=，利用单调有界准则，设其极限为A，则有，可得A=2.2.第二个重要极限作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明第二个重要极限证 设，先证明数列{xn}收敛.对任意的0≤a＜b和正整数n，都满足不等式事实上，=bn+bn-1a+…
一、极限存在准则Ⅰ与第一个重要极限
1.准则Ⅰ（夹逼准则）
定理1.11 若函数f（x）、g（x）、h（x）在点x0的某去心邻域内满足条件：
（1）g（x）≤f（x）≤h（x），（2）
，则
.
证 对于任意给定的ε＞0，存在δ1＞0，当0＜|x-x0|＜δ1时，有|g（x）-A|＜ε，从而（A-ε）＜g（x），存在δ2＞0，当0＜|x-x0|＜δ2时，有|h（x）-A|＜ε，从而h（x）＜（A+ε），取δ=min{δ1，δ2}，则当0＜|x-x0|＜δ时，有
A-ε＜g（x）≤f（x）≤h（x）＜A+ε
所以有
.
2.第一个重要极限
作为准则Ⅰ的应用，下面将证明第一个重要极限
证 由第三节例6，可知sinx＜x＜tanx，以sinx除各项得
从而
.当x→0时，
，利用准则Ⅰ，有
=0即
.
类似地，有
（即极限为0的函数的正弦与其本身的比值的极限为1）.
例1 求
.
解 令t=arcsinx，则
.
例2 求
.
解 令t=π-x，则
.
例3 求
.
解 
.
例4 
.
解 
.
二、极限存在准则Ⅱ与第二个重要极限
1.准则Ⅱ（单调有界准则）单调有界数列必有极限.
如果数列{xn}满足：x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…，就称之为单调增加数列；如果数列{xn}满足：x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…，就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增数列或严格单减数列.通称为单调数列和严格单调数列.
如果存在M，使得xn≤M（n=1，2，…），就称数列{xn}有上界；如果存在M，使得xn≥M（n=1，2，…），就称数列{xn}有下界.统称为有界数列.
准则Ⅱ的证明从略.
准则Ⅱ可推广到函数情形中去，在此不再赘述.
例5 证明数列
收敛，并求其极限.(www.chuimin.cn)
解 数列显然是单调递增的，是否有界很容易用数学归纳法证明，而且an+1=
，利用单调有界准则，设其极限为A，则有
，可得A=2.
2.第二个重要极限
作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明第二个重要极限
证 设
，先证明数列{xn}收敛.对任意的0≤a＜b和正整数n，都满足不等式
事实上，
=bn+bn-1a+…+ban-1+an＜（n+1）bn
该不等式又可变形为
bn[（n+1）a-nb]＜an+1，（0≤a＜b，n为正整数）
在此不等式中，取
，
，则有0≤a＜b，就有
，故{xn}单调增加，
取a=1，
，又有
对任何正整数n都成立，所以
，即
.
又因为x2n-1＜x2n，所以xn＜4，即数列{xn}有界.
由单调有界原理，数列
有极限，将此极限记为e，则
e是一个无理数，它的值是e=2.718281828459045…
类似地，可以证明
，这里从略.
设
，则x→∞⇔α→0，也可以得到
.
类似地，有
.
指数函数y=ex及自然对数y=lnx中的底就是这个常数e.
例6 求
.
解 
.
例7 求
.
解 令
，则当x→∞时α→0.故
或
.
例8 求
.
解 
例9 求
.
解 
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