Chebyshev多项式的应用及其在信息安全中的控制

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：基于混沌的公钥加密已经得到了初步的发展，其中以Chebyshev混沌映射的半群属性为基础的公钥方案尤为引人关注。Chebyshev多项式的定义为式中，x∈[-1，1]；T0=1；T1=x，则Tn称为n阶Chebyshev多项式。Chebyshev多项式还有一种三角函数的表达形式：Chebyshev多项式有两条重要的属性：1）半群属性：2）混沌属性：当n≥2时，Chebyshev多项式表现出混沌特性，具有正的Lyapunov指数lnn。基于Chebyshev多项式的半群属性设计的公钥方案的安全性是基于离散对数难题和Diffie-Hellman难题的。

基于混沌的公钥加密已经得到了初步的发展，其中以Chebyshev混沌映射的半群属性为基础的公钥方案尤为引人关注。Chebyshev多项式的定义为

式中，x∈[-1，1]；T0（x）=1；T1（x）=x，则Tn称为n阶Chebyshev多项式。Chebyshev多项式还有一种三角函数的表达形式：

Chebyshev多项式有两条重要的属性：

1）半群属性：

2）混沌属性：

当n≥2时，Chebyshev多项式表现出混沌特性，具有正的Lyapunov指数lnn。(www.chuimin.cn)

Kocarev等利用以上介绍的切必雪夫混沌映射的半群属性设计了一个公钥协议，但是它容易受到Bergamo攻击[118]。为了增强这一特性，Zhang证实了定义在（-∞，+∞）上的切必雪夫多项式仍然具有半群属性[124]。如下：

式中n≥2；x∈（-∞，+∞）；N是一个大素数。可见

所以改进之后的切必雪夫多项式仍然保留半群属性。我们所设计的能够保护用户匿名的密钥一致协议利用这种改善的切必雪夫不等式的半群属性。基于Chebyshev多项式的半群属性设计的公钥方案的安全性是基于离散对数难题（DLP）和Diffie-Hellman难题（DHP）的。下面给出DLP和DHP的定义：

定义10-1 离散对数难题：给定一个常数α，找到一个整数r，使恒等式Tr（x）≡α成立。

定义10-2 Diffie-Hellman难题：给定Tr（x）和Ts（x），找出Trs（x）。