混沌系统的基本特征及应用

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：6.普适性混沌运动不是完全杂乱无章的，存在内在规律性，不同系统趋于混沌状态时表现出某些共同特征，其不随具体系统变化而变化，即是普适的，如Feigenbaum常数。

混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散系统、不可积Hamilton保守系统和非线性离散映射系统中[1]。它有时被描述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动等，与其他复杂现象相区别，混沌运动有自己独有的特征，主要包括[4，23]：

1.有界性

混沌是有界的，它的运动始终局限于一个确定的区域，这个区域叫做混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会超出混沌吸引域。所以从整体上说混沌系统是稳定的。

2.遍历性

混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌运动轨道经过混沌区内每个状态点。

3.内随机性

一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可能不出现，则该系统被认为具有随机性。一般来说当系统受到外界干扰时才产生这种随机性，一个完全确定的系统（能用确定的微分方程表示），在不受外界干扰的情况下，其运动状态也应当是确定的，即是可以预测的。不受外界干扰的混沌系统虽能用确定微分方程表示，但其运动状态却具有某些“随机”性，那么产生这些随机性的根源只能在系统自身，即混沌系统内部自发的产生这种随机性。当然，混沌的随机性与一般随机性是有很大区别的，这种内随机性实际就是它的不可预测性，对初值的敏感性造就了它的这一性质，同时也说明混沌是局部不稳定的。

4.分维性(www.chuimin.cn)

分维性是指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。混沌系统在相空间中的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，不同于一般确定性运动，不能用一般的几何术语来表示，而分维正好可以表示这种无限次的折叠。分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。

5.标度性

标度性是指混沌的运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要数值或实验设备精度足够高，总可以在小尺度的混沌区内看到其中有序的运动花样。

6.普适性

混沌运动不是完全杂乱无章的，存在内在规律性，不同系统趋于混沌状态时表现出某些共同特征，其不随具体系统变化而变化，即是普适的，如Feigenbaum常数。

7.统计特征

混沌运动具有正的Lyapunov指数和连续功率谱等。Lyapunov指数是对非线性映射产生的运动轨道相互间趋近或分离的整体效果进行的定量刻画。对于非线性映射而言，Lyapunov指数表示n维相空间中运动轨道各级向量的平均指数发散率。正的Lyapunov指数表明轨道在每个局部都是不稳定的，相邻轨道按指数分离。同时，正的Lyapunov指数也表示相邻点信息量的丢失，其值越大，信息量的丢失越严重，混沌程度越高。混沌系统的功率谱往往是在连续谱上迭加了一些具有一定宽度的线状谱宽峰，宽峰的中心频率即相轨缠绕空洞做近似周期运动的平均频率。

混沌系统的基本特征及应用

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