混沌密码技术虽然获得了很大进展，但在发展中也出现了诸多问题：1）混沌的离散化问题。这些不利因素都是由混沌自身引起的，但目前还缺少对适合用于密码系统中的混沌映射的研究。虽然混沌密码学还存在着众多的问题，但作为一个新兴的学科，这些问题的存在是允许的和合理的，混沌密码学丰富了密码学的内容，从一个新的角度研究了数据加密技术。随着混沌密码学的进一步发展和现有问题的解决，相信它会有广阔的应用前景。......
2023-11-22
混沌系统控制及其应用
【摘要】：由于混沌系统的奇异性和复杂性至今还没有被人们彻底了解，因此到目前为止还没有一致的、严格的定义。已有的定义仅仅从不同的侧面来反映混沌的性质，下面介绍几个具有代表性的混沌定义。Li-Yorke定义是影响较大的混沌数学定义，它是从区间映射出发进行定义的。
由于混沌系统的奇异性和复杂性至今还没有被人们彻底了解，因此到目前为止还没有一致的、严格的定义。已有的定义仅仅从不同的侧面来反映混沌的性质，下面介绍几个具有代表性的混沌定义。
1.Li-Yorke的混沌定义
1975年，李天岩和约克在《美国数学月刊》上发表论文《周期3意味着混沌》，第一次引入了“混沌”概念，并给出了混沌的一种数学定义[13]，现称为Li-Yorke定义。Li-Yorke定义是影响较大的混沌数学定义，它是从区间映射出发进行定义的。
定理1-1（Li-Yorke定理）：设f（x）是[a，b]上的连续自映射，若f（x）有3周期点，则对任何正整数n，f（x）有n周期点。
定义1-1：区间I上的连续自映射f（x），如果满足下面条件，便可确定它有混沌现象：
1）f的周期点的周期无上界；
2）闭区间I上存在不可数子集S，满足
根据Li-Yorke定义，一个混沌系统应具有三种性质：
1）存在所有阶的周期轨道；
2）存在一个不可数集合，此集只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；
3）混沌轨道具有高度的不稳定性。
根据上述定理和定义，对闭区间I上的连续函数f（x），如果存在一个周期为3的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。(www.chuimin.cn)
2.Devancy的混沌定义
1989年，R.L.Devaney从拓扑学角度给出了混沌定义[23]。
定义1-2：设V是一度量空间，映射f：V→V，如果满足下面三个条件，便称f在V上是混沌的。
1）初值敏感性：存在δ＞0，对任意的δ＞0和任意的x∈V，在x的I邻域内存在y和自然数n，使得d（fn（x），fn（y））＞δ。
2）拓扑传递性：对V上的任意对开集X、Y，存在k＞0，fk（X）∩Y≠∅（如一映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的）。
3）f的周期点集在V中稠密。
对初值的敏感性，意味着无论x和y离得多近，在f作用下两者都可分开较大的距离，并且在每个点x附近都可以找到离它很近而在f作用下终于分道扬镳的点y，如果用计算机计算它的轨迹，任意微小的初值误差，经过多次迭代后将导致计算结果失败。拓扑传递性意味着任一点的临域在f的作用之下将“遍撒”整个度量空间V，这说明f不可能细分或不可能分解为两个在f下相互不影响的子系统。周期点稠密性表明系统具有很强的确定性和规律性，绝非混乱一片，形似混乱而实则有序。
3.Melnikov的混沌定义
在二维系统中，最具有开创性的研究是Smale马蹄理论。马蹄映射F定义在平面区域D上，F（D）⊆D，其中D由一单位正方形S和两边各一个半圆构成。映射规则是不断地把S纵向压缩（压缩比例小于1/2），同时横向拉伸（拉伸比大于2），再弯曲成马蹄形后放回D中。已经证明，马蹄映射的不变集是两个Cantor集之交，映射在这个不变集上呈现混沌态。因此，如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味着系统具有混沌[24]。
由Holmes转引的Melnikov方法是对混沌的另一种严格描述。概括起来可表述为：如果存在稳定流形和不稳定流形且这两种流形横截相交，则必存在混沌。Melnilov给出了判定稳定流形和不稳定流形横截相交的方法，但该方法仅适合于近可积Hamilton系统。
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