混沌系统控制及信息安全中的应用

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：混沌是非线性动态系统所特有的一种运动形式，它既是普遍存在又是极具复杂性的现象。混沌学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普遍应用的基础上发展起来的，并得到人们广泛的关注和研究。这一结果被认为是动力系统中具有混沌特征的第一征兆。在这一时期，混沌学作为一门新兴的科学正式诞生。这些实验研究不仅丰富了混沌理论，而且极大地拓宽了混沌的应用领域和范围。

混沌是非线性动态系统所特有的一种运动形式，它既是普遍存在又是极具复杂性的现象。它广泛地存在于自然界，诸如物理、化学、生物学、地质学，以及技术科学、社会科学等各个学科领域。混沌学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普遍应用的基础上发展起来的，并得到人们广泛的关注和研究。混沌理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑，被认为是继相对论、量子力学之后，20世纪人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域的第三次大革命[3，8]。

混沌理论的基本思想起源于20世纪初，法国著名数学家Poincáre是混沌学这一领域的开拓者。在对天体力学的研究中，Poincáre指出三体问题通常是不可积的，在一些非常特殊的点附近，他成为同宿点，相空间轨迹必然是非常复杂的。这一结果被认为是动力系统中具有混沌特征的第一征兆。Poincáre之后，大批数学家和物理学家在各自的研究领域中为混沌理论的建立进行了宝贵的知识积累[9]。

从20世纪50、60年代开始，人们开始探索动力学系统的复杂性，使混沌科学得到了飞速的发展。苏联科学家Kolmogorov在1954年得出了哈密顿系统中完全可积的系统在受到足够小的扰动后，绝大部分非共振环面仍可保留下来的结论。随后，这一结论由Arnold和Moser等人加以完善和证明，这一理论被后人称为KAM定理[10]。KAM定理揭示了保守系统的确可以存在混沌行为。1963年，美国气象学家Lorenz教授在《大气科学》发表了论文“决定性的非周期流”的著名论文，提出了著名的Lorenz方程[11]。Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发现系统初始值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不同，即著名的“蝴蝶效应”。上述的研究成果为20世纪70年代混沌理论的研究做好了重要的数学理论准备。

20世纪70年代是混沌科学发展史上成果辈出的年代。在这一时期，混沌学作为一门新兴的科学正式诞生。1971年，法国物理学家Ruelle和荷兰数学家Takens共同发表了著名论文《论湍流的本质》，首次利用混沌吸引子的结论解释了湍流产生的机制[12]。1975年，美籍华人学者李天岩（T.Y.Li）和美国数学家Yorke在《美国数学月刊》上发表了《周期3意味着混沌》一文，首次引入了“混沌”一词，并提出了著名的Li-Yorke定理[13]。1976年，May研究了一维平方映射，并在一篇综述中指出非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动[14]。1977年，物理学家Ford和Casati在意大利组织了第一次国际混沌会议，标志着混沌科学的正式诞生。1978年，美国物理学家Feigenbaum在《统计物理学杂志》上发表了文章《一类非线性变换的定量普适性》，通过数值研究发现了倍周期分岔通向混沌的道路，并发现了该过程中的普适常数，即著名的Feigenbaum常数[15]。这个结果将混沌学研究从定性分析推进到了定量计算，是混沌理论研究中一个重要的里程碑。(www.chuimin.cn)

在20世纪80年代，混沌科学得到了进一步的发展。1980年，数学家Mandelbrot用分型几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇怪吸引子具有分形维，拓展了混沌科学的一个重要领域[16]。1981年，Takens等人在拓扑嵌入定理基础上提出了重构动力学轨道空间的延迟坐标法，为时间序列分析提供了一条新思路[17]。1983年，Glass发表了著名论文《计算奇异吸引子的奇异程度》，掀起了计算时间序列的热潮[18]。1984年，中国著名的混沌学家郝柏林编辑出版的《混沌》一书问世，为混沌科学的发展起到了巨大的推动作用[19]。1985年，Wolf等人提出了计算时间序列李雅普诺夫指数的数值算法，成为判断时间序列是否具有混沌特性的最基本算法，也同时拉开了时间序列李雅普诺夫指数计算算法研究的序幕[20]。在此期间，科学工作者对混沌的实验研究也倾注了极大的热情，具有代表性的工作是1981年美国麻省理工学院的Linsay首先对变容二极管组成的RLC电路加正弦电压激励进行了研究[21]，证实了在如此简单的二阶非线性电路中存在倍周期分岔和混沌行为，并检验了Feigenbaum常数的值。接着科学家Matsumoto设计了一个十分简单的具有负阻特性的三阶自治电路，在这个电路中观察到了双涡巻混沌吸引子[22]。这些实验研究不仅丰富了混沌理论，而且极大地拓宽了混沌的应用领域和范围。

从80年代后期开始，混沌科学及其应用得到了快速发展。主要的标志是1990年美国马里兰州立大学的物理学家Ott、Yorke和亚伯丁大学自然科学与计算科学院Grebogi提出了著名的控制混沌的参数微扰方法[5]，开创了混沌控制的先河。同年，Pecora和Corroll在电子线路上实现了混沌同步[6]，并提出了PC同步法的框架，推动了混沌保密通信的研究。从此，混沌控制和混沌同步及其应用研究得到了迅速发展，各种方法和应用在国际权威期刊上竞相报道，每年都有很多关于混沌的国际会议召开，混沌的发展达到了高潮。如今，混沌学已经与其他学科相互渗透、相互融合，形成了一些新兴交叉学科和技术，如混沌密码学、混沌计算机图形学、混沌医学、混沌图像处理、混沌智能信息处理、混沌经济学、混沌音乐等。

混沌系统控制及信息安全中的应用

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