用聪明方式轻松学会组合学计数

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：组合学源自对游戏的研究，但也应用于其他许多领域，比如密码学。这种现象被我们称作组合爆炸。这些组合学技巧通常在与自身相关的领域中有着非常实际的作用，而在一些看上去联系不大的领域里，比如拓扑，它们也有一定的作用。参考阅读//No. 14 自然数，第32页No. 92 阶乘，第188页No. 94 图形，第192页3.一分钟记忆组合学研究的是计数，特别是计算组合或者排列结果的数量。即便是对数量很少的事物进行排列组合，往往也会有很多种可能。

组合学源自对游戏的研究，但也应用于其他许多领域，比如密码学。

1.多维度看全

数学问题不一定是深奥晦涩的，也未必要用到一系列的专业术语，它的形式可以很简单。比如，我们可以问：它的数量有多少？这其实也是一个历史最悠久的数学问题。组合问题就是这样一类需要我们求解具体数量的问题，《创造之书》这本古老而神秘的典籍文本就运用了今天我们所说的阶乘对一些组合问题进行了求解。

洗一副扑克牌有多少种方式呢？一个魔方可以出现多少种组合呢？将12台计算机连成一个网络有多少种方式呢？我们又可以有多少种方式将一个数写成几个整数之和呢？

这类问题的答案，往往都是非常大的数，因为我们在计算的时候用到了数的阶乘。如果我们为这类问题再添加一个额外的元素，那么答案会比原先还要大出许多。这种现象被我们称作组合爆炸。

数学家们已经发展出一系列巧妙的方法来解决这类组合问题。这些组合学技巧通常在与自身相关的领域中有着非常实际的作用，而在一些看上去联系不大的领域里，比如拓扑，它们也有一定的作用。

2.关键点梳理

假设我想从办公室里的12名员工中选出5人，组成一支五人足球队，那么组成的队伍会有多少种可能呢？这个问题并没有它表面听上去那么简单。

首先你可能注意到，选第一个人时，我们一共有12种选择，之后，选第二个人时，就有11种选择，以此类推，最终我们一共得到12×11×10×9×8种可能，我们可以将它写作12!/7!。(www.chuimin.cn)

但这是一个错误答案，因为它把每个队伍都重复算了好几次。正确的答案应该是12!/(5!×7!)，即792种。

参考阅读//

No. 14 自然数，第32页