哥德巴赫在信中提出了他的猜想：所有能被写成两个质数之和的整数，都能被写成三个、四个直至更多个质数之和，直到所有的项都不能再被分解。质因数分解总是存在且具唯一性，这意味着，我们总能对一个给定的数进行质因数分解，并且每个人得到的结果都一样。与质因数分解不同，将一个偶数分为两个质数之和的方式并不总是唯一的。......
2023-11-22
庞加莱猜想:数学图解和简化法则
【摘要】：“聚焦”于某些特殊类型的流形，我们可以得到很有用的结果。我们可以再进一步，专门关注“单连通”的流形。庞加莱猜想认为，任何一个闭的单连通三维流形都是一个三维球面。2006年，格里戈里·佩雷尔曼完成了对该猜想的证明，他还顺带证明了与之联系密切的瑟斯顿几何化猜想。随后，佩雷尔曼的结论可以很好地帮助我们对三维闭流形进行分类。
1.多维度看全
流形构成了一类特殊的空间。它在局部上“看起来”是固定维度的欧几里得空间，但从整体上看可能是以不同的方式连接而成的。流形空间中每一点周围的区域都可以被切开、展平，看上去就是一片欧几里得空间区域。
“聚焦”于某些特殊类型的流形，我们可以得到很有用的结果。举例来讲，如果一个流形没有边界，也不会延伸到无穷远，那么它就是一个闭流形。正方形确有边界，它在拓扑意义上和圆是等价的。因此，尽管圆本身是没有边的，但它也是一个一维闭流形。上升到二维，我们可以想象将立方体吹成一个正球体，形成一个二维闭流形。
我们可以再进一步，专门关注“单连通”的流形。它的中间没有像圆环面那样的洞。庞加莱猜想认为，任何一个闭的单连通三维流形都是一个三维球面。2006年，格里戈里·佩雷尔曼完成了对该猜想的证明，他还顺带证明了与之联系密切的瑟斯顿几何化猜想。
下图：在拓扑意义上，我们可以将一个立方体鼓成一个球。
2.关键点梳理
拓扑性质主要取决于空间的维度。在五维及五维以上的空间内，由于可操作的空间大，许多能在较低维空间内显现的复杂性质便会消失。一维闭流形的分类很简单，因为只有圆这一种。直到20世纪20年代，人们才完成了对二维闭流形的分类。随后，佩雷尔曼的结论可以很好地帮助我们对三维闭流形进行分类。然而，对于更高维度，一个和哥德尔不完全性定理相似的逻辑障碍则认为，我们无法对更高维度的闭流形进行分类。
参考阅读//
No. 6 哥德尔不完全性定理，第16页
No. 59 欧几里得空间，第122页(www.chuimin.cn)
No. 60 流形，第124页
No. 76 维度，第156页
No. 81 瑟斯顿几何化定理，第166页
No. 83 超正方体，第170页
No. 84 代数拓扑，第172页
儒勒·昂利·庞加莱（1854—1912）
3.一分钟记忆
三维球面听起来很神奇，但是它其实是四维空间里一种非常基础的对象。庞加莱猜想告诉我们，所有单连通的三维闭流形就是三维球面。
像三维球面这样的四维对象并不是只有理论上的意义，举例来讲，爱因斯坦提出的时空就是四维的。
有关2页纸图解数学 : 以极聪明的方式，让你三步读懂数学的文章
- 详细阅读
-
数学图解：学会三步读懂数学详细阅读
三角形在三维空间内的等价物是四面体。我们可以将单纯复形看作是对它所处的空间进行三角剖分，即将其分割为最简单的部分。单纯形的要点在于它们十分简单，且单纯复形可以被分解为单纯形，因此为了更好地掌握一个空间，我们可以对它进行三角剖分，这是现代几何学与拓扑学的一个基本工具。对空间进行三角剖分，可以为我们带来一个全新的、更侧重拓扑意义的视角。......
2023-11-22
-
2页纸图解数学：轻松学习数学，提高数学水平详细阅读
在不知道他人会采取什么行动的情况下，博弈论为我们思考如何做出决策提供了一个框架。参考阅读//No. 5 逻辑，第14页No. 95 概率，第194页3.一分钟记忆博弈论研究的是如何在多个选择中做出理性决策，通常情况下，博弈的参与者不止一名。在实际情况中，博弈论很管用，因为这时假设通常都为真。......
2023-11-22
-
最强数学图解书，让你轻松读懂数学详细阅读
接下来，试着厘清其可能导致的结果，或许就会发现矛盾。此外，如果一个命题为真，那么它所有的蕴涵命题均为真。参考阅读//No. 5 逻辑，第14页No. 14 自然数，第32页No. 27 康托尔对角线论证，第58页No. 54 病态函数，第112页No. 69 不可能的构造，第142页布尔代数的部分内容：如果一组命题为真，那么指向它的一组子命题不可能为假。如果一个命题为真，那么它所有的逻辑结果也同样为真。......
2023-11-22
-
极聪明数学图解，点亮数学的简单方法详细阅读
也许，成为一个数意味着成为一个能够进行运算的系统的一部分。环是一类涵盖范围很广的具有某种结构的集合，它配有两个二元运算，它们与我们一般对数进行的加法和乘法运算很类似。其中一个运算构成一个交换群，被看作“加法”。另外一个运算只需要拥有一个单位元，并对前一个运算有分配律，这个运算是“乘法”。这从直观上意味着，除法也可以作为域上的运算。......
2023-11-22
-
数学真相揭示：孪生质数猜想证明成功详细阅读
至少在写本书的时候，我们还不清楚孪生质数猜想到底是真是假，但是有一个国际合作项目似乎正有着不错的进展。一些非常大的孪生质数已经被电脑找到了——2016年9月，一对孪生质数被发现。参考阅读//No. 14 自然数，第32页No. 16 希尔伯特旅馆，第36页No. 17 质数，第38页3.一分钟记忆一组孪生质数是指两个足够接近的质数。孪生质数猜想认为，我们总能无穷尽地找到一组更大的孪生质数。......
2023-11-22
-
数学图解：球面几何的上下界详细阅读
球面上的直线从外表看起来是弯的。然而，直到18世纪末期，数学家们才意识到这些切实考虑的重要性，球面几何得以与欧几里得空间的平面几何区分开来，独成一支。这样的两条“直线”总会在球体的表面交于两点，因此这些直线并不存在平行线。球面几何是不存在平行线的欧几里得几何。......
2023-11-22
-
数学与生活-函数求导法则详细阅读
前面根据导数的定义，我们求出了一些简单函数的导数，对于一些复杂的函数，如果仍按导数的定义求导，不仅烦琐，有时甚至是不可能的.因此，本节中，将介绍求导数的几个基本法则及一些导数公式，借助这些法则和求导公式，将方便地求出一些函数的导数.一、导数的四则运算法则定理3 设函数u=u（x）和v=v（x）在点x处都可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）构成的函数在点x处也都可导，且有以下法则：以上法则都可......
2023-11-20
相关推荐