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2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：用于研究拓扑空间的另外两个群分别是同调群和上同调群。参考阅读//No. 13 范畴，第30页No. 35 抽象代数，第74页No. 38 群，第80页No. 49 同调代数，第102页No. 60 流形，第124页No. 70 拓扑，第144页No. 76 维度，第156页右图：代数拓扑将复杂的对象对应到更为简单的图承上。幻灯机投射的机制是范畴论的中心内容。

上图：各种各样的曲面。其中每一个在拓扑意义上都是一个克莱因瓶或是一条莫比乌斯带。这两者都属于单侧曲面，但是莫比乌斯带有边缘。

1.多维度看全

拓扑是艰涩的。它研究的都是我们在日常生活中很难体验到的一些古怪空间。举例来讲，这些空间也许有着很高的维度，并且有着不寻常的连接方式。对于一个七维流形而言，你不可能通过外表就能推导出相关结论，因此拓扑学家们需要借助一些工具。

其中最有用的方法之一就是将一个更简单的对象与你想要研究的空间联系起来，因此我们可以从前者的结构中推导出该空间的一些相关信息。通常，我们选用的对象是一个群。

举个例子，你可以想象选取一个点，以它为起点和终点画环（就像一段段细绳一样）。如果两个环能在这个空间的范围内，经过拉抻后得到同样的形状，我们便可以认为，这两个环基本上是相同的。

通过一些小技巧，我们可以将这些环转化为代数对象——空间的“基本群”。如果我们找不到环的洞到底在哪里，转化成这个代数对象可以很好地帮到我们。

2.关键点梳理

拓扑学家阿伦·哈彻尔（Allen Hatcher）将代数拓扑比作一台幻灯机，幻灯机投射出一道光，光穿过拓扑空间产生的投影就是该空间的代数结构。我们可以从这个投影中推导出一些结论。

用于研究拓扑空间的另外两个群分别是同调群和上同调群。事实上，它们的作用太过关键，以至于用范畴论对它们结构的研究，已经成为一个独立的数学分支——同调代数。

参考阅读//

No. 13 范畴，第30页(www.chuimin.cn)

No. 35 抽象代数，第74页