射影几何画家们的创意

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：如今，透视法被人们看作全部几何的基石。起初，射影几何只限于二维领域，但在数学家们将它掌握之后，它就被推广至更高维的领域。射影几何的主要公理简单到令人吃惊：任意两个不同的点位于唯一一条线上。射影几何对这一观点做了推广。

上图：透视法的技巧包含某类特殊的几何。

1.多维度看全

15世纪早期，严格透视法的绘画技巧在佛罗伦萨发展起来。在透视法之前，早期的艺术家们已经掌握了一些特设的技巧来营造景深的错觉感，但是透视法不止于此。理论上讲，透视法中的线条系统表示画面中具体事物的远近方位。

画面是三维世界的二维表达，透视法为我们提供了一种方式，将现实世界沿着几条直线投射到画纸上。这些直线可以被看作三维空间内的对象发出的“经由”艺术家的画纸射入肉眼的光线。

作为一个可以实现视觉表达的实际工具，透视法很快被完善，但直到17世纪，数学家们才开始对它产生兴趣，又过了很长一段时间，它才被人们完全接受。如今，透视法被人们看作全部几何的基石。

2.关键点梳理

在射影几何中，每一组平行线都会相交于一个“无穷远点”。这些点形成的线，我们称为“地平线”。起初，射影几何只限于二维领域，但在数学家们将它掌握之后，它就被推广至更高维的领域。

射影几何的主要公理简单到令人吃惊：

任意两个不同的点位于唯一一条线上。

任意两条不同线交于唯一一点。(https://www.chuimin.cn)

有了这些公理（还有一个公理，主要用于保证严谨性，排除某些显然不合理的情况，此处就不给出了），接下来就只需要具体的处理了。

参考阅读//

No. 1 公理、定理和证明，第6页

No. 76 维度，第156页

No. 78 球面几何，第160页

右图：阿尔布雷特·丢勒（1471—1528）的画作，该画描绘了一台透视投影机器。

3.一分钟记忆

严格透视法技巧包含了将三维空间投射到二维空间的过程，这一过程使某特殊类型的几何得以发展。我们能看到某一点，是光线射入肉眼的结果。射影几何对这一观点做了推广。