瑟斯顿几何化定理三维空间局部形象图解

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：我们可以用正十二面体来对三维双曲空间进行密铺。1982年，威廉·瑟斯顿首先提出将这种对应从二维推广到三维的几何化猜想。2003年，这个猜想最终被格里戈里·佩雷尔曼证实，这其实是他对庞加莱猜想证明的部分内容。几何意义上来讲，三维空间要比二维空间信息量更大。几何对应上，二维空间只有三种可能，而三维空间有八种。

我们可以用正十二面体来对三维双曲空间进行密铺。

1.多维度看全

曲面上会出现三种曲率，这三种区域对应了三种不同的几何，但曲面只是一个二维的对象，在更高维的空间内，情况又会如何呢？1982年，威廉·瑟斯顿首先提出将这种对应从二维推广到三维的几何化猜想。这也在某种程度上成为一个长达二十年的研究项目的触因。2003年，这个猜想最终被格里戈里·佩雷尔曼证实（采用和瑟斯顿推测一致的方式），这其实是他对庞加莱猜想证明的部分内容。克雷基金会（Clay Foundation）为奖励佩雷尔曼的研究成果，想提供给他一百万美金的奖金，然而众所周知，他拒绝了这份奖金。

最终的结论是，三维流形的区域能够对应八种完全不同的几何。在这八种几何结构中，有三种是我们早先在二维中找到的几何的高维对应，其余的几种就很难直观想象出来了。

2.关键点梳理

这些几何结构分别为：

E³，平面三维空间

S³，三维球面

H³，三维双曲空间

S²×R，球面和实数线的积

H²×R，二维双曲空间和实数线的积

SL₂ (R)，这是由某类2×2的矩阵得来的

幂零几何

可解几何(www.chuimin.cn)

这些都是非常专业的概念，想要用画图的方法来直观地理解它们，几乎是不可行的。所以，如果想要研究这些几何结构的性质，我们最好选用一些抽象方法。