当曲率为负时的双曲几何

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：双曲几何也否定了这一公设：双曲几何中，平行线有无穷多条。其中，曲率为零的部分满足欧几里得几何，曲率为正的部分满足球面几何，而曲率为负的部分满足的是双曲几何。双曲几何对应的是负曲率的空间区域。

负曲率区域看上去既可能向上倾斜，也可能向下倾斜，这要看你具体选用了哪种观察方式。它是当代建筑的一个共同特征。

1.多维度看全

欧几里得第五公设（公理）如下：过直线外一点，我们能且只能做一条该直线的平行线。球面几何否定了这一公设，因为在球面几何中，这样的平行线不存在。

双曲几何也否定了这一公设：双曲几何中，平行线有无穷多条。当这一观点首次被提出来的时候，人们对其持存疑态度，甚至有传言称，当初鲍耶·亚诺什发表这些观点时还受到了劝阻，而他人这样做也是为了保全他的声誉。

想象一个任意维度的流形。其中，曲率为零的部分满足欧几里得几何，曲率为正的部分满足球面几何，而曲率为负的部分满足的是双曲几何。

尽管在一个空间内，曲率在不同点处可能会发生变化，但是为了方便考虑，我们主要探讨曲率在每一点处都相等的常曲率空间。

2.关键点梳理

二维欧几里得几何和球面几何，可以分别在平面和球面上作图体现。然而，对于常曲率为负的双曲几何，并没有一个好画的几何表面，所以双曲几何不得不依赖一些并不完美的视觉模型。

对于一个曲面（二维流形）而言，这三种几何是仅有的三种可能。毕竟，曲面上每一点处的曲率必定会是正数、负数和零三者之一，它们分别对应球面几何、双曲几何和欧几里得几何。而三维的情况就要复杂得多。

参考阅读//

No. 1 公理、定理和证明，第6页(www.chuimin.cn)

No. 59 欧几里得空间，

第122页

No. 60 流形，第124页

No. 75 曲率，第154页

No. 76 维度，第156页

No. 78 球面几何，第160页

3.一分钟记忆

除了平行线不唯一这一点，双曲几何在其他方面和欧几里得几何没有区别：给定一条线，过直线外任意一点，我们可以做出无穷多条该线的平行线。

双曲几何对应的是负曲率的空间区域。