数学图解：球面几何的上下界

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：球面上的直线从外表看起来是弯的。然而，直到18世纪末期，数学家们才意识到这些切实考虑的重要性，球面几何得以与欧几里得空间的平面几何区分开来，独成一支。这样的两条“直线”总会在球体的表面交于两点，因此这些直线并不存在平行线。球面几何是不存在平行线的欧几里得几何。

球面上的直线从外表看起来是弯的。球面三角形的内角和要比平面三角形的内角和更大。

1.多维度看全

古人曾认为，恒星和行星都镶嵌在一个巨大的穹顶之中，就像一个半球的内部一样。虽然实际情况并非如此，但他们这样想也情有可原。对这个“屋顶”的天文观测使人们慢慢认识到运动的点、线、三角形等在球体上呈现出怎样的几何性质。

此外，很早之前，人们就知道地球近似球形了。在16世纪的时候，人们需要绘制出横跨大西洋的路线，所以地球的实际形状就成了一个需要考虑的实际问题。因为海面上没有地标物，水手们只能完全依赖平面地图。为了不偏航，他们要了解，平面地图与真实的地球球面之间会有怎样的出入。

然而，直到18世纪末期，数学家们才意识到这些切实考虑的重要性，球面几何得以与欧几里得空间的平面几何区分开来，独成一支。

2.关键点梳理

球面几何包含了欧几里得几何的前四条公理，但它否定了和平行线相关的第五公设。

在一个球体的表面，“直线”其实是一个以球心为圆心的圆——以地球为例的话，赤道或者任意一条经线都是这样的“直线”。这样的两条“直线”总会在球体的表面交于两点，因此这些直线并不存在平行线。

这条公理的变动带来了广泛的影响，最终形成了一个与之前的欧式几何存在很大差异的几何。

参考阅读//(https://www.chuimin.cn)

No. 1 公理、定理和证明，第6页

No. 59 欧几里得空间，

第122页

No. 68 平行线，第140页

No. 74 度量空间，第152页

No. 79 双曲几何，第162页

3.一分钟记忆

在球面上，两点之间的最短距离是一个圆的一部分。关于这点的一个更加专业的说法是引入了一个新的距离函数。

球面几何是不存在平行线的欧几里得几何。