数学图解：分形维度长度与面积的关系

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：康托尔集的豪斯多夫维度大约是0.63，科赫雪花的豪斯多夫维度大约是1.26，门格海绵看上去是介于面积和体积之间的某种概念，它的豪斯多夫维度大约是2.73。这些分形的存在模糊了各维度之间的边界。

1.多维度看全

空间的维度是可以数出来的，这个值等于该空间的基所要用到的向量数。这意味着，维度总是一个自然数。1982年，本华·曼德博把分形介绍给世人，他为我们带来了某个有违我们认知的观点：空间的维度可以是分数。

“分形”意味着不精确，但我们可以说，分形显示了某种复杂的、无尽循环的模式——同样的模式会不断缩为更小的尺度。它们通常有着许多不寻常的度量性质。举例来讲，科赫雪花是由无穷长的外边围成的小区域；康托尔集是由线段构成的，这些线段过于短，以至于无法定义其长度，但是它们又大于点。

康托尔集看上去不止于一个零维点集，但它还不足以形成一条一维的线；科赫雪花看上去不止于一条线，但它还不足以围成一个封闭的区域，这样的例子还有很多。此外，分形的维度不一定是分数，事实上，著名的分形——曼德博集合的维度就是整数。

2.关键点梳理

当然，我们需要重新理解“维度”的含义。有很多种方法可以用于计算分形的维度，它们都需要对一段无穷过程取极限情况。其中，我们最常使用的就是豪斯多夫维度。

康托尔集的豪斯多夫维度大约是0.63，科赫雪花的豪斯多夫维度大约是1.26，门格海绵看上去是介于面积和体积之间的某种概念，它的豪斯多夫维度大约是2.73。它们在直观上“介于”两个我们更为熟悉的维度空间之间，实际维度也相应地“介于”两个维度之间。

参考阅读//

No. 4 极限，第12页(www.chuimin.cn)

No. 14 自然数，第32页

No. 74 度量空间，第152页

No. 76 维度，第156页

右图：门格海绵和科赫雪花。

3.一分钟记忆

对分形的研究使得几何领域中维度的研究得到了新的发展：整数维度之间也可以有其他维度存在，我们还可以精确地算出这一维度。

这些分形的存在模糊了各维度之间的边界。