欧拉示性数三角剖分拓扑研究

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：如果能够找到所有这些三角剖分的共同点就好了，而欧拉示性数恰好就是。给定其中任意一个三角剖分，我们都可以很容易地计算出它的欧拉示性数。无论是哪种三角剖分，最后都会得出同样的数。尽管如此，如果发生三角剖分的空间出现了某些变化，这个数值还是会发生变化，但空间的大小、曲直等并不会对欧拉示性数产生影响，起决定作用的是整个空间的连接方式，也就是说，欧拉示性数只与其所处空间的拓扑性质有关。

因为平面和球面有着相同的欧拉示性数，所以所有平面和球面上的图都有着相同的V、F和E。

1.多维度看全

将一个空间进行三角剖分的方法有无穷多种。我们可以自行对其验证。取一张纸，在上面画几条相交的直线，直到它被完全划分为一个一个的三角形。现在试问自己：有多少种方式可以将纸面划分出这样的效果？很显然，答案是无穷多种。

如果能够找到所有这些三角剖分的共同点就好了，而欧拉示性数恰好就是。给定其中任意一个三角剖分，我们都可以很容易地计算出它的欧拉示性数。无论是哪种三角剖分，最后都会得出同样的数。

尽管如此，如果发生三角剖分的空间出现了某些变化，这个数值还是会发生变化，但空间的大小、曲直等并不会对欧拉示性数产生影响，起决定作用的是整个空间的连接方式，也就是说，欧拉示性数只与其所处空间的拓扑性质有关。

2.关键点梳理

首先，我们对一个二维表面进行三角剖分，并数出三角面的数量，将这个数记为F。随后，我们再数出三角边的数量，将其记为E。最终，我们数出顶点（三角形的角）的数量，将它记为V。接下来，我们便可以通过公式V-E+F，求出这个表面的欧拉示性数。

对更高维度的空间进行三角剖分，我们会得到更高维度的单纯形。将上面的公式进行简单的推广，便可以计算出更高维度空间的欧拉示性数。

参考阅读//(https://www.chuimin.cn)

No. 70 拓扑，第144页

No. 71 三角剖分，第146页

No. 76 维度，第156页