对于空间内其他任意一点，我们从原点向它做一条直线，并在末尾处画上一个指向该点的箭头，这样一来，我们便得到了一个向量。在三维空间内，我们以自身所处的位置作为原点，用“上”“左”“前”来表示方向。......
2023-11-22
数学图解：学会三步读懂数学
【摘要】：三角形在三维空间内的等价物是四面体。我们可以将单纯复形看作是对它所处的空间进行三角剖分，即将其分割为最简单的部分。单纯形的要点在于它们十分简单，且单纯复形可以被分解为单纯形，因此为了更好地掌握一个空间，我们可以对它进行三角剖分，这是现代几何学与拓扑学的一个基本工具。对空间进行三角剖分，可以为我们带来一个全新的、更侧重拓扑意义的视角。
将二维空间划分为三角形或者将三维空间划分为四面体，往往能够帮助我们找到事情的解决方法。
1.多维度看全
在零维空间内，最简单的单位是点。点在一维空间内的等价物是一条线段。线段是一条有限长的直线，它的两侧各有一个端点。我们也可以这样想，取两个点，将它们之间的一维空间填满，我们就得到了一条线段。
在二维空间内，最简单的单位是三角形，它是由三条线段首尾相连围出的一块空间区域。三角形在三维空间内的等价物是四面体。我们只需要将四个三角形边边重合搭在一起，并将中间的部分填满，就能得到一个四面体。你也可以按照这种模式继续构造出它们在更高维度空间内的等价物，但是那些就无法通过画图表示出来了。
上述这些几何体都叫作单纯形。将其中一些单纯形连接在一起，可以构成一个单纯复形。我们可以将单纯复形看作是对它所处的空间进行三角剖分，即将其分割为最简单的部分。
2.关键点梳理
单纯形可以像橡皮泥一样产生变形。因此，我们可以将一个三角形抻成一个圆，也可以将它压成一个正方形。同样地，我们也可以将直线弯曲成曲线，将四面体吹成一个球。
单纯形的要点在于它们十分简单，且单纯复形可以被分解为单纯形，因此为了更好地掌握一个空间，我们可以对它进行三角剖分，这是现代几何学与拓扑学的一个基本工具。
参考阅读//
No. 70 拓扑，第144页(www.chuimin.cn)
No. 72 欧拉示性数，第148页
No. 76 维度，第156页
No. 80 正密铺，第164页
No. 84 代数拓扑，第172页
No. 94 图，第192页
3.一分钟记忆
单纯形是一个空间的基础单位。单纯复形由几个单纯形组合而成。
对空间进行三角剖分，可以为我们带来一个全新的、更侧重拓扑意义的视角。
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参考阅读//No. 35 抽象代数，第74页No. 38 群，第80页No. 42 环和域，第88页No. 64 对偶向量，第132页No. 76 维度，第156页右图：通过给空间内的每一点附上一个向量，我们可以模拟出某种流动状态，比如模拟出河的水流状态。向量被正式定义为向量空间内的元素，而向量空间是一种抽象的代数结构。......
2023-11-22
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一些人认为，它们证实了微积分的力量；而另一些人认为，这些事物表明了微积分这门学科的内在逻辑还存在许多漏洞。哲学家们还在持续进行着争论，而数学家们已经欣然接受了病态函数的存在。许多病态函数的图像都和这个图像类似，呈分形。如果一个病态函数导致一个矛盾出现，整个理论就会被推翻。......
2023-11-22
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举例来讲，我们可以将几何课本中所讲的二维空间视为一条线与另一条线相乘的结果，而想要得到我们所处的三维空间，我们只需将二维空间再“乘以”一条线。参考阅读//No. 7集合论，第18页No. 35 抽象代数，第74页No. 59 欧几里得空间，第122页3.一分钟记忆不是只有数才可以作乘法，积的观点可以被推广到任意两个集合之间。......
2023-11-22
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19世纪90年代，大卫·希尔伯特证明出一个结果，它被称为“零点定理”，这个定理用精准的术语对这一对应关系做了探讨。这就是零点定理的核心，也是代数几何成立的条件。和代数拓扑类似，代数几何的核心在于，我们已经对环的性质有了许多了解，所以把簇“翻译”成环的语言处理，要比直接处理更方便。零点定理为代数几何的建立提供了基本词典。......
2023-11-22
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事实上，康托尔找到了一个可以构造出许多不同大小的无穷的方法，正好解决了我们的问题。而有了一般性的对角线论证后，我们可以证明，这一点对于无穷集合同样成立。通过不断对一个无穷集取幂集，我们可以得到一个更大无穷集的无穷序列：无穷基数。......
2023-11-22
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接下来，试着厘清其可能导致的结果，或许就会发现矛盾。此外，如果一个命题为真，那么它所有的蕴涵命题均为真。参考阅读//No. 5 逻辑，第14页No. 14 自然数，第32页No. 27 康托尔对角线论证，第58页No. 54 病态函数，第112页No. 69 不可能的构造，第142页布尔代数的部分内容：如果一组命题为真，那么指向它的一组子命题不可能为假。如果一个命题为真，那么它所有的逻辑结果也同样为真。......
2023-11-22
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靠近那个点的元素——我们这时引入一个度量标准——可以被这一点吸引或排斥，与之对应地，我们称这一点为汇点或源点。在这个迭代里，0是不动点，且是汇点，因为它把附近的数字都“吸引”过去了。参考阅读//No. 7 集合论，第18页No. 9 映射，第22页No. 15 科拉茨猜想，第34页No. 74 度量空间，第152页No. 90 布劳威尔不动点定理，第184页No. 91 混沌理论，第186页右图：许多工业生产过程都会将同一个步骤不断进行迭代。......
2023-11-22
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