拓扑学:几何中不考虑测量的关键要素

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：通过摒弃测量的繁杂细节，它将关注点集中于空间不为几何所关注的其他方面。拓扑并不会对空间中的每一部分进行具体的测量，它更关注空间的各个部分是怎样连接成一个整体的。

环面和克莱因瓶是二维曲面的两个典例，它们有着不同的拓扑性质。

1.多维度看全

“几何”（geometry）一词很大可能来源于它最早期的一些应用，比如用来解决调查和建筑领域内的实际问题。这些问题的核心都是有关长度、角度、面积和体积等可以被测量的事物的问题。

然而，还有许多有关空间的事物并不能用这种几何方法来测量。就比如环面，环面呈甜甜圈形状，中间有一个洞。如果我们将它与球面进行对比，最显著的区别立见：环面有个洞，而球面没有。

借助一些几何方法，我们也能了解到关于环面这个洞的一些信息，但是通过这种方式得来的信息，实属精确过度，也不好处理。实际上，我们只想弄清楚，它中间是否有一个洞。

拓扑就是这样应运而生的。通过摒弃测量的繁杂细节，它将关注点集中于空间不为几何所关注的其他方面。

2.关键点梳理

因为其并不关注长度、角度这类信息，所以人们有时会称拓扑为“橡皮几何学”。对于一个拓扑学家来讲，任意两个三角形都是相同的，因为具体的边和角已经被忽略了。事实上，三角形、正方形和圆，在拓扑意义上都是相同的，因为曲线和角都被我们忽略掉了。

拓扑的发展是20世纪数学领域的主要成就。尽管最初它只属于纯数学领域中的理论研究范畴，但它现在也有了很多现实生活中的应用。

参考阅读//(https://www.chuimin.cn)

No. 72 欧拉示性数，第148页

No. 84 代数拓扑，第172页

No. 85 纽结理论，第174页

No. 86 庞加莱猜想，第176页

No. 59 欧几里得空间，第122页

3.一分钟记忆

拓扑和几何是从两种不同的视角来对空间进行研究的。拓扑并不会对空间中的每一部分进行具体的测量，它更关注空间的各个部分是怎样连接成一个整体的。

在拓扑学家眼中，三角形和正方形之间没有区别，甜甜圈和咖啡杯之间也没有区别。