数学图解：平行线为何无法相交

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：平行线是欧几里得几何中十分重要的一部分。有时我们会认为，两个环平行的条件是它们不存在任何交点，也就是说，其中一个环完全包含于另一个环的内部，就像地图上山峰的等高线一样。参考阅读//No. 1 公理、定理和证明，第6页No. 59 欧几里得空间，第122页No. 78 球面几何，第160页No. 79 双曲几何，第162页3.一分钟记忆平行直线的唯一性和存在性是二维欧几里得几何的基本内容，我们无法通过其他公理证明它。

1.多维度看全

简言之，在二维空间中，如果两条线不相遇（术语为“相交”），那么它们平行。平行线是欧几里得几何中十分重要的一部分。在欧式几何中，它们一般是在两端无限延伸下去的直线。欧几里得第五公设讲，在二维空间内，给定一条直线和直线外一点，过该点做该线的平行线，能且只能做一条。

这是欧几里得提出的几大公理之一。几千年来，数学家们一直试图从其他几条公理中证出这条公理，因为那样一来，我们就可以少假定一条。毕竟，它看起来就像是一个关于点和线之间关系的事实，但我们其实是无法通过其他公理证明它的。也正是因为这一点，非欧几何（球面几何与双曲几何）在19世纪逐渐发展起来。

下图：平行线没有尽头，也不会相交。地图上的等高线就是平行的曲线。在某些角度下观察，我们会产生两条平行直线交于一点的错觉。

2.关键点梳理

有一类直线两侧存在端点，不会无限延伸下去，我们通常将这类直线称为线段。无穷长的直线显然不会存在端点，欧几里得第五公设只适用于无穷长的直线。

还有一类线，它的两个端点连在一起，构成了一个环，比如圆、椭圆以及它们的所有几何变形。有时我们会认为，两个环平行的条件是它们不存在任何交点，也就是说，其中一个环完全包含于另一个环的内部，就像地图上山峰的等高线一样。

参考阅读//

No. 1 公理、定理和证明，第6页(www.chuimin.cn)

No. 59 欧几里得空间，

第122页

No. 78 球面几何，第160页