用极小曲面进行肥皂泡的微积分计算

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：参考阅读//No. 56 变分法，第116页No. 60 流形，第124页No. 65 张量场，第134页No. 74 度量空间，第152页3.一分钟记忆在极小曲面上，每一点处的局部表面积都达到了最小值。每个点都只能“看到”它周围的点，因此面积最小化的情况只局限在小范围区域内。

肥皂膜形成的形状可以被视作变分法问题的解。

1.多维度看全

混合好一些肥皂水，然后将一个任意形状的金属框放在里面浸一下。这个框将会以某种特殊的方式被附上一层薄膜。通常，我们并不能明显看出这个肥皂膜的具体形状，但对于一个给定的金属框，形成的肥皂膜形状通常是一致的。

肥皂膜之所以会产生某种形状，是因为这些肥皂水中的分子想要结合在一起。这些分子并不清楚总体的状况，每个分子都只能看到它周围的那些分子，并想要把它们拉到自己身边来，致使在金属框的约束影响下，分子周围区域的表面积达到最小，最终我们会得到一个肥皂曲面。换个角度说，这其实是一个求解变分法问题的过程。

由于自然界通常都在遵循“最小作用量”的原则，我们以上研究使用的工具，也会在几何以外的领域有所应用，比如建筑和设计领域。

2.关键点梳理

极小曲面满足下面的条件：对于该曲面上的每一点，我们都能在它周围找到一块使其自身面积达到最小值的给定边界形状和周长的区域。所有值得研究的极小曲面都是弯曲的，这意味着对长度和面积的测量在每一点处都不一样。因此，在对它们进行严格定义之前，我们要首先定义出一个度规张量场。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 56 变分法，第116页

No. 60 流形，第124页

No. 65 张量场，第134页

No. 74 度量空间，第152页

3.一分钟记忆

在极小曲面上，每一点处的局部表面积都达到了最小值。其中，曲面上每一点周围区域的长度和面积，都对应了专门的求法。

每个点都只能“看到”它周围的点，因此面积最小化的情况只局限在小范围区域内。