向量空间中的对偶向量都有对应的镜像

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：所有能定义在V上的线性泛函的集合，构成了一个与V采用同样标量集的向量空间，我们将它写作V*。事实上，在抽象代数意义上，V*和V是同构的。因此，我们称这些线性泛函为对偶向量或者余向量，称V*为对偶空间。构造对偶空间V*的对偶空间V(**)，我们又会回到V，因此，V和V*就很像是彼此的镜像。每一个向量空间都有它的对偶空间，如果其中一个发生反变转换，那么另一个会发生共变转换，反之亦然。

1.多维度看全

假设我们有一个向量空间V，V中的向量到标量的映射是一个泛函。泛函有许多不同的类型，其中满足某些特定线性规则的泛函被称为线性泛函。

所有能定义在V上的线性泛函的集合，构成了一个与V采用同样标量集的向量空间，我们将它写作V^*。事实上，在抽象代数意义上，V^*和V是同构的。我们可以将一方精确映射到另一方，并保持代数结构不变。因此，我们称这些线性泛函为对偶向量或者余向量，称V^*为对偶空间。

构造对偶空间V^*的对偶空间V^(**)，我们又会回到V，因此，V和V^*就很像是彼此的镜像。

尽管向量和余向量看上去就是一些小箭头，但是由于具备一定的变换模式，它们其实很适合对不同物理事实进行模拟。

空间的线性变换可以用矩阵来表示。

2.关键点梳理

给定向量v、向量w和标量s，如果一个泛函f遵循以下法则，那么它就是一个线性泛函：

f (v+w)=f (v)+f (w)

f (sv)=sf (v)

对V（或者V^*）进行基的变换，我们就可以发现V和V^*的区别。你可以将这里的基看作一个用于对向量进行精准描述的参考系。(www.chuimin.cn)

V中的向量发生的是反变转换，就像速率测量随测量单位变化而发生的变化那样，而V^*中的余向量发生的是共变转换，正如梯度测量随测量单位变化而发生的变化。