2页纸图解数学:轻松学数学的极聪明方式！

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：在初等数学中，我们会使用一个由数字构成的、满足一定代数运算规则的方形阵列，来表示由V到它自身的线性变换。而具体选用哪一个矩阵来表示这个线性变换，取决于向量空间选用了什么基。我们也可以在两个不同的向量空间之间定义线性变换。向量空间的结构在线性变换后不会发生改变。

1.多维度看全

任何一个从某个向量空间到其自身的映射，都可以被称作一个变换，但是这个定义下的大多数变换性能都不是很好，无论是理论上，还是在实际使用中，它们都存在许多局限。

然而，还有几类变换，它们的重要性不容小觑。能够保留两个向量空间代数结构的线性变换就是其中之首，我们有时会称之为向量空间V的自同构，这些自同构在一起形成了一个十分重要的群。

在初等数学中，我们会使用一个由数字构成的、满足一定代数运算规则的方形阵列，来表示由V到它自身的线性变换。这样的方形阵列被称为矩阵。而具体选用哪一个矩阵来表示这个线性变换，取决于向量空间选用了什么基。

我们也可以在两个不同的向量空间之间定义线性变换。这种情况下，矩阵有时是长方形的，而不是正方形的。对向量空间和线性变换的研究被称作线性代数，它已经有了十分成熟的发展。

向量场可以用来测量物理现象，比如压力梯度、电磁等，其中的元素可能会是反变的（向量），或是共变的（对偶向量）。

2.关键点梳理

如果两个向量空间之间的映射是线性的，那么给定向量v、向量w和标量s，我们有：

f (v+w)=f (v)+f (w)

f (sv)=sf (v)

如果不去考虑矩阵，我们也可以将V的自同构看作张量积V⊗V^*中的一个元素。大致讲来，V^*（下一页有定义）中的余向量作用在V中的任意一个向量上，得到一个标量，再与左边的向量相乘，我们就可以得到一个V的自同构。(www.chuimin.cn)

参考阅读//

No. 35 抽象代数，第74页

No. 38 群，第80页

No. 57 向量，第118页

No. 61 张量积，第126页

No. 64 对偶向量，第132页

3.一分钟记忆

矩阵是由数字构成的矩形阵列，它可以被用于表示线性变换。

向量空间的结构在线性变换后不会发生改变。