数学中的共变与反变：视觉相似背后的相反之处

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：参考阅读//No. 57 向量，第118页No. 64 对偶向量，第132页右图：变换坐标系是一项非常基本的操作，我们必须清楚地认识到这一变换会为其他测量带来怎样的影响。当参考系发生变化时，反变对象和共变对象会以相反的方式发生变化。

1.多维度看全

假设我们正在对一个动点进行观测，用千米来测量距离，用秒来测量时间。观测得到的结果是，这个质点正以1千米/秒的速度运动。现在，我们将距离单位换成米，这样一来，这个质点的物理状态并没有发生改变，运动速度却变为了1000米/秒。

因为我们改变了测量距离的方式，速率向量也相应地受到了缩放，数值大小从1变为1000。而值得注意的是，这里并没有发生任何运动状态上的变化，变化的只有我们对它采用的描述方式。

现在假设，在进行一段1千米的行程时，该质点的温度上升了1摄氏度，那么我们就可以得出，该区域内的温度梯度是1摄氏度/千米。而如果我们将千米换成米，该区域温度梯度就会变为0.001摄氏度/米。

此时，得到的数值从1缩小到原来的1/1000，而前一种情况中数值却增长为原来的1000倍。那么，二者之间的区别在哪里呢？

下图：当我们把水平的距离单位从千米换成米时，滑雪者的速率是反变量，而温度梯度是共变量。

2.关键点梳理

在前一种情况中，测量单位缩小到原来的1/1000，而向量的大小却扩大到1000倍，因此我们称速率向量为反变向量。

而在后一种情况中，因为梯度与测量单位一样缩小到原来的1/1000，所以我们称梯度向量为共变向量。(www.chuimin.cn)

事实上，在这些情况中，任何事物都没有发生物理上的变化，变化的只是我们选取的参考系。参考系的变换是物理学的关键内容，所以这些区别很重要。

参考阅读//

No. 57 向量，第118页

No. 64 对偶向量，第132页

右图：变换坐标系是一项非常基本的操作，我们必须清楚地认识到这一变换会为其他测量带来怎样的影响。

3.一分钟记忆

当我们变换参考系时，物理事实并没有发生任何改变，但用以描述它们的数值会发生改变。

当参考系发生变化时，反变对象和共变对象会以相反的方式发生变化。