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2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：我们能够绘制出一张轻微失真的地球局部区域平面图，但我们无法绘制出这颗行星整体的平面图。地球是一个流形，它只是在局部近似一个欧几里得平面空间。参考阅读//No. 59 欧几里得空间，第122页No. 66 极小曲面，第136页No. 70 拓扑，第144页No. 75 曲率，第154页No. 78 球面几何，第160页3.一分钟记忆流形的局部小区域看上去像略有失真的欧几里得空间区域，但它们可以以诸多不同的方式连接起来，构成整个流形。

我们能够绘制出一张轻微失真的地球局部区域平面图，但我们无法绘制出这颗行星整体的平面图。地球是一个流形，它只是在局部近似一个欧几里得平面空间。

1.多维度看全

纸平面可以被看作二维欧几里得空间，那么地球表面呢？某种意义上，地球的表面也是二维的。如果我们忽略山峰、山谷这类地表起伏，并且距离任意给定的点足够近地去观察，它也可以被看作欧几里得空间。

然而，从总体来看，它丝毫不像是欧几里得空间。事实上，除非我们将地球表面在某处“割开”，不然我们并不能绘制出一张平面图（非数学意义上的地图），而那样做又会使原本不存在间断的地方出现间断。因此，除了地球表面的一些起伏和褶皱，还有其他一些问题需要我们去考虑。

我们认为，地球的表面局部看像欧几里得空间。也就是说，如果选取的区域足够小，我们是可以绘制出一张只是轻微失真的平面图的。由于地球可以被这一张张交叠的平面图覆盖，我们可以得出，地球的表面是一个二维流形。

2.关键点梳理

在某种意义上，制作一个流形相当于做一本能覆盖住空间的图集。

粗略来讲，拓扑流形是一个拓扑空间，空间内每一点周围的区域都可以被切分、展平，以至于看起来像一块欧几里得空间区域。

光滑流形处处光滑，不存在任何骤变，而黎曼流形则是配有某种通用测量距离方式的光滑流形。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 59 欧几里得空间，

第122页