对于空间内其他任意一点，我们从原点向它做一条直线，并在末尾处画上一个指向该点的箭头，这样一来，我们便得到了一个向量。在三维空间内，我们以自身所处的位置作为原点，用“上”“左”“前”来表示方向。......
2023-11-22
2页纸图解数学：三步读懂欧几里得空间常规几何背景
【摘要】：实数用来表示被定义为一维欧几里得空间的一条线上的点。通过取一条线与其自身的积，我们可以构造出一个二维欧几里得空间。参考阅读//No. 1 公理、定理和证明，第6页No. 26 实数，第56页No. 57 向量，第118页No. 60 流形，第124页No. 76 维度，第156页3.一分钟记忆欧几里得空间内的点形成向量集合，这些向量构成一个标量为实数的向量空间。欧几里得空间是大多数几何体的基础，在它之外，还存在着其他种类的几何空间。
空间的维度表明了为了表示空间内的点，我们采用的坐标系包含的坐标轴数量。我们在有些情况下会使用极坐标系（上图），其中的某些轴代表角度，但我们更常使用的还是直角坐标系（右图）。
1.多维度看全
我们在学校学的几何主要都是二维平面空间内的几何。欧几里得《几何原本》中的公理、定理，也大都是以此为背景的。在二维空间内，任意两点间的最短距离，就是用直尺在它们之间画出的直线距离。
我们还可以通过增添一个维度，将二维空间扩展为三维空间，尽管三维空间不太好画。我们可以对空间内的点进行定义，并以某种方式计算两点间的直线距离。
实数用来表示被定义为一维欧几里得空间的一条线上的点。其中，给定线上两点a与b，它们之间的距离就是a-b和b-a中的非负项。
通过取一条线与其自身的积，我们可以构造出一个二维欧几里得空间。在每一点上再作一条这样的线，结果是，我们得到一个像无数棉线编织而成的无限延展的平面。
2.关键点梳理
通过类似的方法，我们还可以构造出三维、四维甚至更高维度的欧几里得空间。空间内的点形成向量集合，这些向量共同构成一个标量为实数的向量空间。
我们再定义一个特殊的距离函数，其通过模拟我们对直线距离的直观概念，将空间内任意一对点映射到一个实数上。这个函数被称作欧几里得度量，我们在对每个欧几里得空间进行定义时，都需要定义这个空间的欧几里得度量。
参考阅读//(www.chuimin.cn)
No. 1 公理、定理和证明，第6页
No. 26 实数，第56页
No. 57 向量，第118页
No. 60 流形，第124页
No. 76 维度，第156页
3.一分钟记忆
欧几里得空间内的点形成向量集合，这些向量构成一个标量为实数的向量空间。我们可以用一种直观自然的方法来测量两点间的距离。
欧几里得空间是大多数几何体的基础，在它之外，还存在着其他种类的几何空间。
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2023-11-22
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2023-11-22
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