数学图解：向量的散度和旋度求导

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：散度和旋度就是作用在这种映射上的特殊导数，它们是向量微积分学很重要的一部分内容。参考阅读//No. 9 映射，第22页No. 50 导数，第104页No. 57 向量，第118页No. 59 欧几里得空间，第122页右图：当向量场涌向或者涌出某一点的时候，我们可以计算该点处的散度。散度和旋度这两种运算可以用来描述任意一点附近向量场的具体情况。

上图：当向量场在某一点周围“循环”的时候，我们可以计算该点处的旋度。

1.多维度看全

给定一个三维空间，我们为该空间内的每一点都附上一个小箭头，让向量遍布其中，这样我们就得到了一个向量场。我们可以用它来描述房间内空气的流通情况。那么，给定一个点，我们要如何描述它周围空气的流通情况呢？

比如，空气从这一点涌出，就好像我们拿着气球放气一样，或者是涌向这一点，就好像某人深吸了一口气。该点处的向量场散度就是对这类情况精确的数值描述。

如果空气环绕这一点流动，以至于如果我们在该点处放一个小方向标，它就会发生一定程度的旋转，我们就用旋度来描述向量场的这一性质。

借助旋度和散度这两种运算，我们可以描述某一点周围一小块区域内的所有向量作用在该点的平均或是总计效果。

2.关键点梳理

向量场其实是从空间内的点到向量空间里的向量的映射。散度和旋度就是作用在这种映射上的特殊导数，它们是向量微积分学很重要的一部分内容。

要完成对它们的定义，我们最终要用到欧几里得空间本身的结构。从本质上来讲，欧几里得空间其实是多个实数集的积。这意味着，我们可以将这些和向量相关的问题简化为数字之间的映射问题，而这些就属于普通微积分的范畴了。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 9 映射，第22页

No. 50 导数，第104页