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2023-11-22
图解数学：三步读懂向量的方向
【摘要】：参考阅读//No. 35 抽象代数，第74页No. 38 群，第80页No. 42 环和域，第88页No. 64 对偶向量，第132页No. 76 维度，第156页右图：通过给空间内的每一点附上一个向量，我们可以模拟出某种流动状态，比如模拟出河的水流状态。向量被正式定义为向量空间内的元素，而向量空间是一种抽象的代数结构。
上图：要描述一艘船的方位，我们可以看它向北和向东分别多远，最终，我们能得到一个向量。
1.多维度看全
我们可以先将向量想象为漂浮在空间内某处的一个小箭头，它的大小和方向分别代表了它所在位置的风速与风向。我们还可以用一列数来描述这个向量，它们代表了这个向量在各个方向上的距离。想要在二维空间内描述这个向量，我们需要用到两个数，其中一个数代表它向北多远，另一个数则代表它向东多远。因此，向量可以用来表示空间内发生的某段位移。
我们为向量空间给出更正式的定义：一个向量空间涵盖两个具备某些结构上的性质的集合。其中一个集合是标量的集合，它具备域的结构；另一个集合是向量的集合，它具备交换群的结构，即两个向量相加，得到另一个向量。
要完成对这个向量空间的定义，我们还需要定义一个运算，即“用一个向量乘以一个标量”，我们称其为“对向量的缩放”。
2.关键点梳理
向量空间和具体的箭头或是一列数没有关系，它是一个十分抽象的数学对象。这使得人们发展出一套强有力的理论，其优点在于，一旦你掌握了这种抽象观，你就会发现向量空间其实无处不在。
此外，放开来讲的话，模在某种程度上也属于向量空间，只不过其标量集合的代数结构是一个环，而非一个域。模的概念在许多数学领域中频频出现，但是由它延伸出的相关理论并没有十分规整，因为相比域，环的性质要复杂得多。
参考阅读//
No. 35 抽象代数，第74页(www.chuimin.cn)
No. 38 群，第80页
No. 42 环和域，第88页
No. 64 对偶向量，第132页
No. 76 维度，第156页
右图：通过给空间内的每一点附上一个向量，我们可以模拟出某种流动状态，比如模拟出河的水流状态。
3.一分钟记忆
大多数人会将向量画成一个小箭头，并且用它进行计算时，把它当作一列数来处理。
向量被正式定义为向量空间内的元素，而向量空间是一种抽象的代数结构。
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2023-11-22
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2023-11-22
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