【主要内容】1.二元函数极值的定义设二元函数f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义.如果在此邻域内对任意（x，y）≠（x0，y0）都有f（x，y）
2023-10-27
使用变分法轻松找到函数极值的方法
【摘要】：微分方程虽然也不是很好解，但是相对于解泛函已经要容易许多了。参考阅读//No. 9 映射，第22页No. 50 导数，第104页No. 55 微分方程，第114页No. 66 极小曲面，第136页右图：当一个函数达到最大值或者最小值时，它的导数为零。通常来讲，要解决一个泛函问题，我们就把它转化为一个有希望解决的微分方程问题。
上图：变分法可以用来描述许多自然过程，比如肥皂膜的运动过程。
1.多维度看全
函数是由数到数的映射，而泛函是由函数到数的映射。你可以把泛函看作对每一个函数在某种标准下进行的测量。举例来讲，每一个函数都可以作成图，且在(0,1)区间上的图像都是某种曲线，泛函可以用来测量该曲线的长度。
通常来讲，我们希望找到给定的泛函有最大或最小可能值的函数。例如，我们想要找到图像长度尽可能短的函数。这就是变分法的相关内容。
我们可以用变分法来证明一些显而易见的事实。比如，同等周长下圆围成的面积最大；再比如，两点之间直线距离最短。再稍微对它的应用进行推广的话，我们还可以用它来解决一些更为复杂的问题。
2.关键点梳理
变分法的主要技巧是将一个难解的泛函转化为一个微分方程。微分方程虽然也不是很好解，但是相对于解泛函已经要容易许多了。
这个技巧所用到的的原理是，当函数达到它的最大值或最小值的时候，它的图像会发生方向的转变，该点处的导数值也会相应地变为零。
光线沿某一路径传播、肥皂泡呈现出某种形状等都是用这种方式自然最小化泛函的物理现象。
参考阅读//(www.chuimin.cn)
No. 9 映射，第22页
No. 50 导数，第104页
No. 55 微分方程，第114页
No. 66 极小曲面，第136页
右图：当一个函数达到最大值或者最小值时，它的导数为零。
3.一分钟记忆
泛函是对函数的测量。通过采用变分法的技巧，我们可以找出这些测量值中的最大值与最小值。
通常来讲，要解决一个泛函问题，我们就把它转化为一个有希望解决的微分方程问题。
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