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学习微分方程物理的简明图解

【摘要】:在这个例子中,“求解”微分方程意味着要找到一个能满足已知的F和m的函数p。参考阅读//No. 50 导数,第104页No. 52 积分,第108页No. 53 微积分基本定理,第110页右图:通过对斜率场的绘制,我们可以求出微分方程的近似解。对微分方程进行更好的理解,依旧是当前研究的重要课题。

1.多维度看全

当我们了解某事物的变化情况,却不知道其具体数值时,便会用到微分方程

举例来讲,牛顿第二定律是F=ma。其中F是作用在某对象上的合力,m是对象的质量,a是它的加速度。加速度是速率的导数,速率是位移的导数。

通常来讲,力都是已知的,而我们想要研究该物体的具体变化,也就是说,求出它以时间t为自变量的位移函数p(t)。我们将加速度写作p'',因为函数p是从时间到位移的映射,而加速度是位移变化率的变化率,所以我们用p''来表示p的导数的导数。

在这个例子中,“求解”微分方程意味着要找到一个能满足已知的F和m的函数p。因为它们无处不在,所以这类问题成为发展和研究微积分的主要驱动力。

2.关键点梳理

通过微积分基本定理可知,我们可以通过积分对导数进行逆运算。然而,目前我们还没能找到一个广泛适用的方法,我们也有足够的理由认为,这样的方法并不存在。而在一些实际情况中,我们不需要得到完全精确的结果,所以我们经常使用计算机进行近似计算。

F=mp''是一个很好解的微分方程,我们可以先将这个方程改写为p''=F/m的形式,然后进行两次积分。通常我们需要一些额外的信息将结果限定为唯一解。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 50 导数,第104页

No. 52 积分,第108页

No. 53 微积分基本定理,第110页

右图:通过对斜率场的绘制,我们可以求出微分方程的近似解。

3.一分钟记忆

微分方程描述了事物的变化情况,所以在许多情况下都有所应用。对微分方程进行更好的理解,依旧是当前研究的重要课题。

从逻辑层面考虑,我们将可能永远无法为其提供一个完备的理论阐述。