2页纸图解数学:三步读懂数学的极聪明方式

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：一些人认为，它们证实了微积分的力量；而另一些人认为，这些事物表明了微积分这门学科的内在逻辑还存在许多漏洞。哲学家们还在持续进行着争论，而数学家们已经欣然接受了病态函数的存在。许多病态函数的图像都和这个图像类似，呈分形。如果一个病态函数导致一个矛盾出现，整个理论就会被推翻。

1.多维度看全

微积分被广泛投入使用后，诞生出许多实际的应用和新的数学思想。同时，人们也开始担心，微积分的根基，特别是无穷小量和无穷过程的极限——并没有被很好地理解。

随着一些违背人们直觉以及实际考虑的的悖论和“病态”数学对象的出现，人们开始意识到，事实确实如此。早期微积分模糊、直觉性的定义承认上述这些事物的存在，但无法给出处理它们的具体办法。

这些反常规的事物引发了数学家和哲学家不同的反应。一些人认为，它们证实了微积分的力量；而另一些人认为，这些事物表明了微积分这门学科的内在逻辑还存在许多漏洞。哲学家们还在持续进行着争论，而数学家们已经欣然接受了病态函数的存在。

2.关键点梳理

1872年，卡尔·魏尔斯特拉斯发表了最著名的病态函数——魏尔斯特拉斯函数。这是一个傅里叶级数（与泰勒级数相似）的极限函数，由越来越小的波形无穷叠加而成。第一眼看上去，我们会觉得它的图像和一般的函数图像没什么两样。

而直观上，这个函数的图像就是一条每一点处都带拐角的连续的线，这在几何意义上似乎是不可能成立的。从微积分的意义上来讲，该函数在每一点处都不可导。

许多病态函数的图像都和这个图像类似，呈分形。然而，分形的概念是在一个世纪后才发展起来的。

参考阅读//

No. 3 反证法，第10页(www.chuimin.cn)

No. 4 极限，第12页

No. 50 导数，第104页

No. 51 泰勒级数，第106页

No. 53 微积分基本定理，第110页

右图：狄利克雷函数在实数轴上的每一点上都有定义，但处处不连续。

3.一分钟记忆

病态函数的出现使我们知道，微积分的定义存在漏洞。在接受它们之后，我们发展出了新的研究方向。

如果一个病态函数导致一个矛盾出现，整个理论就会被推翻。