众所周知，原函数的概念与作为积分和极限的定积分的概念是从两个完全不同的角度引进的，那么它们之间有什么关系呢？......
2023-11-22
微积分基本定理：积分和求导互逆
【摘要】：而有趣的是，导数和积分其实是紧密相关的。给定一个函数，通过对它进行求导，我们能得出另外一个函数，后者可以表示前者在每一点处的变化情况。微积分基本定理大致讲的是，先取一个函数f，对它进行求导，得出一个新函数，接着对这个新函数进行积分，你会再次得到f。换句话讲，积分和微分是互逆的过程。求导和求积分互为逆运算。
1.多维度看全
从几何意义上讲，我们通过导数得出曲线的切线，通过积分来计算面积。用具体术语来讲，导数表示了变化率的概念，积分却似乎与变化率没什么关联。而有趣的是，导数和积分其实是紧密相关的。
求导其实就是一个函数到另一个函数的映射。给定一个函数，通过对它进行求导，我们能得出另外一个函数，后者可以表示前者在每一点处的变化情况。积分也可以被理解为函数到函数的映射。通过对函数进行积分，我们可以计算出以函数图像为边界部分的区域的面积。
微积分基本定理大致讲的是，先取一个函数f，对它进行求导，得出一个新函数，接着对这个新函数进行积分，你会再次得到f。换句话讲，积分和微分是互逆的过程。
2.关键点梳理
假设我们有函数f，f '是它的导数。那么，导数f '在每一点处求得的值就代表了原函数在该点处的变化情况。如果我们把所有这些细微的变化加在一起，我们就能还原出起初的函数f。这就是积分做的事。
导数和积分是处理某些特定问题的专用技巧，使用起来很方便，而把它们像这样结合在一起使用会更加有趣。
参考阅读//
No. 11 逆，第26页(www.chuimin.cn)
No. 50 导数，第104页
No. 52 积分，第108页
No. 55 微分方程，第114页
右图：将f进行求导，得到f '（从左至右）；再进行积分，我们又回过来得到f。
3.一分钟记忆
通过计算导数，我们可以由位移得到速率，再由速率得到加速度。积分则将这个过程逆转过来。
求导和求积分互为逆运算。
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