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2023-11-22
2页纸图解数学：轻松学会积分和曲线方程
【摘要】：在大约公元前300年，欧几里得提出了计算直边图形面积的方法，即在不改变其面积的前提下，将其化为正方形再进行计算。参考阅读//No. 4 极限，第12页No. 53 微积分基本定理，第110页No. 59 欧几里得空间，第122页右图：将曲线下方的图形分割成一个个小竖条，将它们相加以求得该图形的面积，这就是积分概念的雏形。
1.多维度看全
面积是长度的二维等价：它测量了一个图形所占据的空间大小。在大约公元前300年，欧几里得提出了计算直边图形面积的方法，即在不改变其面积的前提下，将其化为正方形再进行计算。
可是欧几里得几何解决不了曲边图形面积的计算，我们只能通过它对这些面积进行近似计算。有时，我们可以用特殊的方法得出它们的面积，但这些办法并不能普遍适用于所有曲边图形。17世纪，随着欧式几何中的一些思想被人们再度研究，我们才慢慢有了如今所谓的积分的定义。
对积分有很多种定义方式，但是大多数都包含将所求区域用直线分割成一个个更小的部分这一步骤。每一部分的边缘处还会存在一些曲边部分，但是随着我们不断切割，这些部分会变得越来越小，最终可以相对忽略不计。
2.关键点梳理
积分的核心要点在于，要将切割的过程进行下去，一直达到某个极限状态，这时，弯曲就不会对面积产生任何影响。举例来讲，黎曼积分将图形分割成一个个长而窄的竖条。随着这些竖条越来越窄，曲边部分的面积就会小到可以忽略不计。
难点在于，我们要说明，当这种情况发生时，面积本身不会简单地变成零。19世纪，我们发展出许多更加严谨的定义，为包括积分在内的计算提供了坚实的基础。
参考阅读//(www.chuimin.cn)
No. 4 极限，第12页
No. 53 微积分基本定理，第110页
No. 59 欧几里得空间，第122页
右图：将曲线下方的图形分割成一个个小竖条，将它们相加以求得该图形的面积，这就是积分概念的雏形。
3.一分钟记忆
我们可以先将空间内的一个区域用直边分割成一个个小块，然后把这些小块相加，得到该区域面积的近似值。这些小块越小，求得的近似值就越精确。
积分是无穷个近似值加在一起的极限值，用来表示面积。
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