1.直接展开法从上面定理可以看出,若函数f(z)在点z0解析,从而在该点某个邻域内也解析,则其展开式(4.3.1) 在该邻域内成立,并且可以利用所给函数f(z)的奇点得到幂级数(4.3.1) 的收敛半径; 不必像把实变函数展开成泰勒级数那样验证其幂级数的余项RN(x) →0(N →∞),也不必再利用所得泰勒级数的系数求其收敛半径.所谓直接展开法是指先求出cn = 然后直接利用上面所给泰勒级数展开定......
2023-10-30
泰勒级数近似计算函数：值处理困难
【摘要】：而对于另外一些函数，比如对数函数，某一点的泰勒级数只能用于近似计算该点附近小范围区间内的各点函数值。参考阅读//No. 4 极限，第12页No. 23 多项式，第50页No. 24 对数，第52页No. 50 导数，第104页右图：正弦函数不是多项式，但是它在0处的泰勒级数是个有着无穷多项的多项式，随着我们算的项越来越多，对x=0处的函数值的近似计算就会越来越精确。
1.多维度看全
多项式是非常精巧、很好理解的函数，但是许多重要的函数要比多项式难处理得多。比如对数函数，或是像f (x)=2x这样的指数函数，像正弦函数、余弦函数和正切函数这样的三角函数，还有其他许多函数。
1715年，布鲁克·泰勒找到一个可以近似计算这些复杂函数数值的方法，即把它们写成与多项式类似的多个项相加在一起求和，不同的是，相较于一般的多项式，它们有无穷多项。
这些项是由我们对想要近似计算的函数不断进行求导而得出的。随着我们计算的项越来越多，估值会越来越接近实际的值，因为极限处的求和就等于近似计算的函数。
对于一些函数（称为整函数），任意一点的泰勒级数都能对每一点的函数值给出一个很好的近似计算。而对于另外一些函数，比如对数函数，某一点的泰勒级数只能用于近似计算该点附近小范围区间内的各点函数值。
2.关键点梳理
用泰勒级数来近似计算某点的函数值十分方便，因为我们需要的导数都很好计算。整个连加式中的每一项，单独来讲都很好求，我们可以根据我们的实际需要来决定我们需要计算多少项。
19世纪早期，约瑟夫·傅里叶拓展了这个将无穷个更简单的事物连加求和来对函数值进行近似计算的想法，并成功攻克了热和波理论中许多先前难以解决的问题。
参考阅读//(www.chuimin.cn)
No. 4 极限，第12页
No. 23 多项式，第50页
No. 24 对数，第52页
No. 50 导数，第104页
右图：正弦函数不是多项式，但是它在0处的泰勒级数是个有着无穷多项的多项式，随着我们算的项越来越多，对x=0处的函数值的近似计算就会越来越精确。
3.一分钟记忆
如果一个函数存在泰勒级数，那么某点处的泰勒级数所代表的无穷项连加和与该函数的极限情况相等，至少与该点附近处的某值相等。
无穷项连加和很实用，因为只要获得了我们需要的精确度，我们就不必继续计算下去了。
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