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2025-09-30
极聪明的方式，让你三步读懂数学：映射构成的序列研究结果
【摘要】：粗略来讲，在链复形中，所有的对象经由任意两个连续映射后，都会降维成一个零维点。再粗略一点讲，同调研究的是这种降维的进行效率，如果效率足够高，那么我们就称这个链复形为一个正合序列。此外，同调代数也有助于我们进一步地研究。同调代数有着深厚的几何拓扑基础，同调也是研究后者至关重要的工具。
上图：20世纪40年代，塞缪尔·艾伦伯格和诺曼·斯廷罗德在扎实的基础上开创了同调代数。同调代数研究的是看起来十分特殊，但是在许多不同的数学背景下都会出现的结构。
1.多维度看全
集合间的映射是可复合的，也就是说，我们可以先进行一次映射，然后对得出的结果再进行一次映射。举例来讲，我们可以先从用餐者的集合映射到菜单上套餐的集合，再把这些套餐映射到它们的价格上，得出每位用餐者分别花费了多少钱。
在数学背景下，将映射像这样锁在一起，就可以得到一个链复形。粗略来讲，在链复形中，所有的对象经由任意两个连续映射后，都会降维成一个零维点。
再粗略一点讲，同调研究的是这种降维的进行效率，如果效率足够高，那么我们就称这个链复形为一个正合序列。
我们已经对有关正合序列的通性问题积累了足够多的认识，因此如果我们能证明，正在处理的情况涉及某个正合序列，我们就能够得到许多额外的信息。此外，同调代数也有助于我们进一步地研究。
2.关键点梳理
正合序列和一些非正合的复形在抽象数学中都是十分寻常的。同调代数就是作为一种研究它们的方法发展出来的，它也因此成为拓扑、几何和代数领域中几近通用的工具。
同调代数有着深厚的几何拓扑基础，同调也是研究后者至关重要的工具。同调代数对流形的研究也有着关键意义，因此在物理方面也有所应用。
如今，同调代数也被发展为范畴论的一部分，用它来进行的论证都可以采取画图的方式。
参考阅读//(https://www.chuimin.cn)
No. 7 集合论，第18页
No. 9 映射，第22页
No. 13 范畴，第30页
No. 60 流形，第124页
No. 70 拓扑，第144页
No. 84 代数拓扑，第172页
右图：Tor函子是张量积的导函子，它是用来研究正合序列的工具之一。
3.一分钟记忆
一个序列中多个映射锁在一起的现象很常见，同调代数研究的就是这样的序列所具备的性质。这些性质都不是那么显而易见，要研究后才能理解。
同调起初是范畴论在拓扑领域中的应用，但现在，它已经被广泛应用于其他许多领域中。
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