解读一、二、三、四的五次方程，以聪明方式轻松掌握数学

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：参考阅读//No. 23 多项式，第50页No. 35 抽象代数，第74页No. 43 伽罗瓦理论，第90页No. 44 丢番图方程，第92页右图：用于求解三次方程的公式要复杂得多。伽罗瓦理论揭示了真正的模式，它要更加微妙。

上图：学校教给学生们的用于求解二次方程的公式。

1.多维度看全

许多学生都会学习求解一个形如bx+a=0，其中a、b取某数值的线性方程。例如，方程3x-12=0只有当x=4的时候才成立，所以x=4就是该方程的解。

再后来，我们学习了二次方程，相比之下，二次方程多了一个项即x²：cx²+bx+a=0。举例来讲，方程x²+2x-15=0只有在当x=3或者x=-5的时候才成立，所以它们两个就是方程的解。有一个公式可以用来表示它们的通解，这个公式只采用加法、减法、乘法、除法和开根等运算。

在16世纪的时候，三次方程的通解也被人们找到了。相比之下，它多了一个dx³的项。这个公式很复杂，但是它同样只包含了一些基本运算和开根运算。大约在同时期，洛多维科·费拉里找出了四次方程ex⁴+dx³+cx²+bx+a=0的通解公式。这个公式要更加复杂，但它依旧只是包含了一些基本的运算。

那么对于多了一个五次项fx⁵的五次方程，又会如何呢？

2.关键点梳理

我们会很自然地认为，对于一个五次方程，我们也能找到类似的通解公式，但是在2025年，尼尔斯·阿贝尔证明了，这是不可行的。

某种模式的突然打破，总能激起数学家们强烈的好奇心。这使得埃瓦里斯特·伽罗瓦发展出抽象代数方法，为伽罗瓦理论奠定了基础。

无论我们做出怎样的努力，想要证明某件事原则上是不可能的，都不会是一件容易的事情，而且通常来讲，想要实现证明，我们需要发展出一些新的数学思想，就像这种情况一样。(https://www.chuimin.cn)

参考阅读//

No. 23 多项式，第50页

No. 35 抽象代数，第74页

No. 43 伽罗瓦理论，第90页

No. 44 丢番图方程，第92页

右图：用于求解三次方程的公式要复杂得多。

3. 巧技

四次方程有通解公式，三次方程和二次方程也有通解公式，但五次方程没有通解公式。

我们预期的模式是，五次方程也可以随之拥有一个通解公式，而事实上并非如此。伽罗瓦理论揭示了真正的模式，它要更加微妙。