极聪明数学图解，点亮数学的简单方法

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：也许，成为一个数意味着成为一个能够进行运算的系统的一部分。环是一类涵盖范围很广的具有某种结构的集合，它配有两个二元运算，它们与我们一般对数进行的加法和乘法运算很类似。其中一个运算构成一个交换群，被看作“加法”。另外一个运算只需要拥有一个单位元，并对前一个运算有分配律，这个运算是“乘法”。这从直观上意味着，除法也可以作为域上的运算。

上图：诺特发展了环、域和代数的理论。诺特有时候会用像这样的明信片来和她的同事恩斯特·费舍尔进行有关抽象代数的讨论。

1.多维度看全

数看起来有些杂乱，我们有正整数、负整数、分数、无穷小数、复数。我们遇到的数越多，情况就会变得越复杂。说到底，数究竟是什么呢？比起科学问题，这更像是一个哲学问题。

也许，成为一个数意味着成为一个能够进行运算的系统的一部分。这个系统的特性是由它的结构和它所包含的元素之间的关系决定的，与其元素的本质并没有直接关系。抽象代数拯救了世界！

环是一类涵盖范围很广的具有某种结构的集合，它配有两个二元运算，它们与我们一般对数进行的加法和乘法运算很类似。域是内部代数性质更好的环。

然而，环并没有限于数集。在多项式、算子、拓扑特性等领域中，我们也能发现环的存在。这使得我们获得更多的相关信息，也提高了这门学科的统一性。

2.关键点梳理

环是一个配有两个二元运算的集合。其中一个运算构成一个交换群，被看作“加法”。另外一个运算只需要拥有一个单位元，并对前一个运算有分配律，这个运算是“乘法”。

域是一个环，只是它的“乘法”也是一个交换群（不考虑0）。这从直观上意味着，除法也可以作为域上的运算。有理数和实数都有域结构，而整数却没有。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 7 集合论，第18页

No. 35 抽象代数，第74页