极聪明的方式，3步读懂数学

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：李群是以挪威数学家索菲斯·李的名字命名的。因此，现代物理很大程度上都在研究李群。参考阅读//No. 4 极限，第12页No. 38 群，第80页No. 39 饰带和壁纸的图样，第82页No. 60 流形，第124页右图：三维空间内所有可能发生的旋转都被看作某个球体二维表面上的点。李群对于流形以及现代物理的研究有着至关重要的意义，它们的理论也得到了很好的发展。

李群是以挪威数学家索菲斯·李（1842—1899）的名字命名的。

上图：在物理领域，我们经常会遇到连续对称。

1.多维度看全

对称群通常是有限的，或者至少涉及离散的运动。饰带和壁纸的图样所对应的就是这样的群。这些群涵盖了我们从小就学到的一些对称，比如沿某条线做镜射，或是绕某点做旋转对称。

那么圆呢？圆的对称就很不一样了，因为每一条过圆心的直线都是一条对称轴，并且绕圆心进行的每一个旋转也是一个对称，所以圆的对称会有无穷多个。

单单关注旋转对称，我们就能很容易地观察出，我们能够对圆进行某个足够细微的旋转。而这又会使我们好奇，当完成了“无穷小旋转”之后，在极限情况下又会有什么样的结果发生。总体上，圆的对称更像是某种平滑、流动的过程，而不是骤然的变化。

实际上，的确有一些群出现了这种现象。它们就是李群，名字源于数学家索菲斯·李。

2.关键点梳理

一个李群表示某个空间（比如流形）保持某个量不变的连续性变换。正是因为存在不变的量，这些变换才能构成对称。

在物理研究中，我们研究的空间通常都是流形。在描述相关法则时，我们通常会规定其中某个量（动量、能量、电荷、旋转，等等）保持不变。一个李群表示，当那个量保持不变时，该空间内可能发生的所有变化情况。因此，现代物理很大程度上都在研究李群。(www.chuimin.cn)

参考阅读//

No. 4 极限，第12页