40号有限单群庞大的定理：2页纸图解数学

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：包含的元素数量为质数的循环群是有限单群的一例。下面这幅全貌图是对有限单群分类的总结，这是20世纪后半期一个大型研究项目的成果。成功将有限单群分类是一项巨大的成就，没有哪一个数学家能独自完成。我们已经完成了对有限单群的分类，但是还有很多与之相关的问题等着我们去解决。

1.多维度看全

起初，群在代数中的运用十分有限，但很快，数学家们开始在各个领域里发现它们的身影。到了20世纪早期，人们才逐渐明白，理解群的结构可以促进对整个数学学科的认识。

如果一个群对应的集合是有限集，那么我们就得到一个有限群。正三角形的所有对称构成的群是有限的（一共存在六个对称），但是进行加法运算的整数群是无穷的。

正如集合可以有子集，群也可以有子群。一些群和一个比它大的群之间存在某种特殊的联系，它们被称作正规子群。如果群G有正规子群N，那么我们就可以通过取它的商群，得到一个更小的新群G/N。如果一个群不具备正规子群，那么它叫作简单群。

简单群不能通过相除得商再“向下分解”，它们可以被看作群论的基石。

包含的元素数量为质数的循环群是有限单群的一例。

2.关键点梳理

有限单群是一个奇怪的分类。它一共包含3个主要类别，还有26个所谓的散在群。这些散在群中包含5个魔群，尽管这些都是有限群，但是它们包含的元素数量还是相当多的。(www.chuimin.cn)

下面这幅全貌图是对有限单群分类的总结，这是20世纪后半期一个大型研究项目的成果。成功将有限单群分类是一项巨大的成就，没有哪一个数学家能独自完成。

参考阅读//

No. 7 集合论，第18页

No. 38 群，第80页

3.一分钟记忆

有限单群就好比群论中的质数；我们对它们已经有了很好的理解，但是它们还有许多值得我们探索的地方。

我们已经完成了对有限单群的分类，但是还有很多与之相关的问题等着我们去解决。