群对称结构中的物理和几何对象及规则

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：物理和几何对象的对称是展现群结构最自然的事物之一。举个例子，等边三角形可进行两种对称旋转，还有三种不导致变化的翻转（镜射），加上被称为“恒等式”的变换，总共有六个对称。该二元运算遵循一些基于对称行为方式的结构性规则。群是一个拥有一个满足结合律的二元运算的集合，这个二元运算包含一个恒等式对称，每个元素都有一个对应的逆。

物理和几何对象的对称是展现群结构最自然的事物之一。

1.多维度看全

如果一个几何图形在经历某种变换之后，看起来和原来一样，那么我们称这个变换为一个对称。

举个例子，等边三角形可进行两种对称旋转，还有三种不导致变化的翻转（镜射），加上被称为“恒等式”的变换，总共有六个对称。

通过逐一地验证，我们可以证明，依序进行任意两个对称产生的效果都等同于进行其余对称中的一个。因此，我们可以认为，这个对称集合含有一个二元运算，即进行任意两个对称可以得到进行其余的一个对称后的结果。

通过研究这个运算的性质，我们可以进一步定义一个群。群的结构在数学领域里无处不在，在其他许多科学领域里也是如此（具体例子请见表示论部分）。

2.关键点梳理

群是一个含有一个二元运算的集合。该二元运算遵循一些基于对称行为方式的结构性规则。

每一个对称都能被另一个对称所逆，我们称其中一个对称是另一个对称的逆：以三角形为例，它的每一个旋转变换都是另外一个旋转变换的逆，每一个镜射变换都是它自身的逆。

在这一抽象的定义下，整数相加构成了一个群。每一个数的逆都是和它大小相等、方向相反的数。这也说明了群的结构具有一定的普遍适用性。(www.chuimin.cn)

参考阅读//

No. 7 集合论，第18页