2页纸图解数学：轻松掌握结合、交换和分配性质

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：这些性质中很多都与二元运算有关。参考阅读//No. 20 负数，第44页No. 35 抽象代数，第74页No. 36 二元运算，第76页No. 38 群，第80页No. 42 环和域，第88页3.一分钟记忆如果括号的存在对二元运算没有影响，那么这个二元运算满足结合律。

二元运算通常都具备共通的性质，我们可以从这些性质中推断出许多信息。

1.多维度看全

假设我们有一个集合，集合含有一个二元运算¤。我们将集合中的元素写作a、b、c，等等，将二元运算写作a¤b。

如果有(a¤b)¤c=a¤(b¤c)，那么这个运算满足结合律，即无论我们是先算a¤b，再和c进行运算，还是先算b¤c，再和a进行运算，最终都会得到一样的结果。数学中大多数重要的二元运算都满足结合律，但也有一些例外。

如果有a¤b=b¤a，那么这个运算满足交换律。我们调换a和b的顺序，也会得到一样的运算结果。整数的加法满足交换律，但减法不满足。

假设我们另有一个运算§。如果a§(b¤c)=(a§b)¤(a§c)，那么我们说§对¤有分配律。在大部分的数字系统中，乘法对加法有分配律，这就引出了我们在学校里学的“去括号分别相乘”的方法。

2.关键点梳理

随着数学家的关注点从对象转移到了对象所具备的结构（抽象代数），他们注意到，一些普遍的性质在数学各领域中反复出现，然而这些性质先前还被认为是事物所特有的。这些性质中很多（包括结合性、交换性、分配性）都与二元运算有关。

我们可以很容易地用符号来对它们进行陈述，我们也通常都能得出我们能够证明的结果。尽管我们对它们中的一些特例的了解已经有了上千年的历史，然而对它们进行识别和推广，可以让我们得出一些全新而深刻的模式。

参考阅读//

No. 20 负数，第44页(https://www.chuimin.cn)

No. 35 抽象代数，第74页

No. 36 二元运算，第76页

No. 38 群，第80页

No. 42 环和域，第88页

3.一分钟记忆

如果括号的存在对二元运算没有影响，那么这个二元运算满足结合律。

如果运算的顺序不重要，那么这个二元运算满足交换律。

如果我们可以去括号再分别相乘，则满足分配律。

具有抽象结构的二元运算的性质可在数学许多不同的领域中有所应用。