四元数：数字还是旋转？

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：特别是，你可以把四元数看作物体在三维空间内的旋转，这使四元数能够在物理、机器人学、航空学甚至电脑游戏领域都有着广泛的应用。在他在世时，四元数一直都没有被广泛接受。它指向的方向就是旋转轴，它的长度就是旋转角。四元数是一个可以用来描述三维空间内旋转的数字系统。

W.R.哈密顿（1805—1865）

上图：将绕水平轴进行的旋转可视化。其中，长箭头的旋转角更大。

1.多维度看全

1843年，W.R.哈密顿提出将复数的虚值扩张成三个，分别为i、j和k。它们的平方都是-1，但并不相等。此外，如果把它们三个乘在一起，还会得到-1。所以每个四元数都形如w+xi+yj+zk，其中w、x、y、z均为实数。

哈密顿提出这个奇思妙想的主要驱动力也许只是纯粹的好奇，但是这个设想其实具备了非常优美的几何性质。特别是，你可以把四元数看作物体在三维空间内的旋转，这使四元数能够在物理、机器人学、航空学甚至电脑游戏领域都有着广泛的应用。

遗憾的是，这些发展在哈密顿离世后才慢慢涌现。在他在世时，四元数一直都没有被广泛接受。

2.关键点梳理

你可以从定义中推出许多四元数的基本性质。它的定义讲明了，i、j和k是如何组合在一起得到-1的。你可能会发现，它们之间的乘法并不满足交换律，也就是说它们相乘的先后顺序会影响最后得出的结果。从定义中可知ij=k，可又有ji=-k，这种情况在我们已知的其他数字系统中还未曾出现过。

想要把一个四元数w+xi+yj+zk“看作”一个旋转，只需要先不考虑w，并把xi+yj+zk看作一个三维向量（x,y,z）。它指向的方向就是旋转轴，它的长度就是旋转角。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 26 实数，第56页

No. 32 虚数，第68页

No. 33 复数，第70页

No. 37 结合、交换和分配，第78页

No. 57 向量，第118页

3.一分钟记忆

哈密顿通过额外添加两个-1的虚根，对复数进行了扩张，这让四元数后来获得了广泛的应用。

四元数是一个可以用来描述三维空间内旋转的数字系统。