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2页纸图解数学：轻松解决超越数难题

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：π是一个超越数，这意味着它不是任何多项式方程的解。迄今为止最著名的超越数是π，它是圆形的周长与其直径的比值。还有一些其他特殊类别的数已经被证实为超越数，但也不是很多，而且从总体上讲，证明一个数是超越数并不是一个容易的过程。一旦x的幂出现在方程里，我们也会得到根，这些根通常是无理数，但是这并不代表我们可以通过这种方式从多项式中得到全部的无理数，那些不能成为多项式方程的解的无理数，就是超越数。

π是一个超越数，这意味着它不是任何多项式方程的解。

1.多维度看全

一些无理数可以被描述为多项式方程的解。举例来讲，如果x²-2=0，那么我们可以将和定义为两个可能的解。如果x是一个多项式方程的解，那么我们则称x为一个代数数。问题在于，是否所有的实数都是代数数？答案是否定的，并且我们把那些非代数数称为超越数。

迄今为止最著名的超越数是π（Pi），它是圆形的周长与其直径的比值。尽管一个多世纪以来，人们一直都在猜测π是一个超越数，但直到1882年，这一点才被证明。还有一些其他特殊类别的数已经被证实为超越数，但也不是很多，而且从总体上讲，证明一个数是超越数并不是一个容易的过程。

不过值得高兴的是，康托尔证明了代数数的数量和自然数的数量是一样多的。因为既然在总体上，实数的数量要更多（通过他的对角线论证可知），所以在某种意义上，“大部分”的实数都是超越数。

2.关键点梳理

一个代数数是一个多项式等于零时的方程解。整数是一些像x-8=0之类的简单方程的解，当然，这里的解为x=8。有理数是一些类似2x-1=0的方程的解，这里的解为。

一旦x的幂出现在方程里，我们也会得到根，这些根通常是无理数，但是这并不代表我们可以通过这种方式从多项式中得到全部的无理数，那些不能成为多项式方程的解的无理数，就是超越数。

参考阅读//

No. 21 有理数，第46页

No. 22 幂，第48页(www.chuimin.cn)

No. 23 多项式，第50页

No. 25 无理数，第54页

No. 26 实数，第56页

No. 27 康托尔对角线论证，第58页

No. 28 无穷基数，第60页

No. 31 π，第66页

3.一分钟记忆

并不存在某个简单、通用的方式来表示超越数，这在某种意义上意味着，它们就是最普通的实数。

代数数是多项式方程的解，而超越数不是。