康托尔对角线论证：解读无穷的巧妙方式

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：格奥尔格·康托尔和他的同事都对“存在不同大小的无穷”这一发现感到震惊。直到康托尔发展了集合论，有关“无穷”的观点才重新被提出。同样，大多数人都能接受由数构成的无穷序列的存在。这意味着，相对于自然数集，一个由只包含0和1的无穷序列构成的集合要更大。康托尔的论证也意味着实数的数量实际上要比自然数多。

格奥尔格·康托尔（1845—1914）和他的同事都对“存在不同大小的无穷”这一发现感到震惊。

1.多维度看全

几个世纪以来，“无穷”的口碑都不是太好。数学家们一直因为关于它的许多论证都会推出谬论而对它颇有微词。直到康托尔发展了集合论，有关“无穷”的观点才重新被提出。

几乎每个人都能接受包含所有自然数的无穷集的存在，因为如果没有它，许多数学观点都无法建立起来。同样，大多数人都能接受由数构成的无穷序列的存在。其中，对于序列中的每一个数，我们都可以用一个自然数来标记它所处的位置。

现在，考虑只由数字0和数字1构成的的无穷序列。假设某个人声称，他已经在一个序列列表上逐一列出了所有可能的情况，对于每一项，都用一个自然数标记它。康托尔证明了这是不可行的：无论我们怎么安排序列的排列顺序，一定会有一些序列没有出现在列表上。

这意味着，相对于自然数集，一个由只包含0和1的无穷序列构成的集合要更大。自然数集合的大小是无穷，但后者是一个更大的无穷。我们可以进一步得出，实数集也是一个更大的无穷。

2.关键点梳理

想要证明这个问题，我们首先需要拿出刚刚的列表，它具体是如何写出来的并没有什么影响。接下来就要告诉大家，如何写下一个并不存在于这个列表中的序列S。

如果列表里第一项的第一个数字是1，那么S的第一个数字就要不同于它，写下0，否则，S的第一个数字就是1。同样地，S的第二个数字也要不同于序列第二项的第二个数字。

一直这样进行下去，得出序列S，它和列表里现存的任何序列都会有不同之处，所以它并不存在于这个列表里。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 3 反证法，第10页