用实数定义所有点：让你三步读懂数学

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：参考阅读//No. 4 极限，第12页No. 20 负数，第44页No. 21 有理数，第46页No. 24 对数，第52页No. 25 无理数，第54页No. 33 复数，第70页3.一分钟记忆实数将有理数和无理数结合在一起，为一条无穷直线上的每一点都提供了一个数字与之对应。

上图：实数（R）包含了有理数（Q），而有理数（Q）又包含了整数（Z），整数（Z）又包含了自然数（N）。

1.多维度看全

我们似乎可以按照下面的方式，用有理数来标记一条连续的无穷线上的点。先在线上任取一个点，标记为0，然后将一个方向定义为正方向。将这个方向上的每一个点都标记为一个正有理数，数值表示某个测量单位下这个点与0的距离。类似地，在反方向用负有理数标记距离。

不幸的是，这样做并不能囊括这条线上所有的点，与0的距离为无理数的点都没有被标记出。如果想让所有的点都有一个数字与之对应，我们就需要一个同时包含有理数和无理数的数字系统。

有理数和无理数一起构成了所谓的实数。它们在数学和科学领域有着广泛的应用，因为它们提供了连续空间的数值表达。实数之所以可以做到这些，是因为它具备完备性：每个由趋近一个极限值的实数构成的序列收敛，并且这个极限值也会是一个实数。

2.关键点梳理

实数和无理数都是用同一种方式来定义的，即有理数构成的无穷序列的极限，其中的每个有理数都接近这个极限值。如果这个序列到达了这个极限值，那么这个数是有理数；如果不然，那么这个数是无理数。

我们可以用实数定义常规的运算，包括根、对数等运算——无论何时我们从一个实数开始算起，最终得到的仍是一个实数。

参考阅读//

No. 4 极限，第12页(www.chuimin.cn)

No. 20 负数，第44页

No. 21 有理数，第46页

No. 24 对数，第52页

No. 25 无理数，第54页

No. 33 复数，第70页

3.一分钟记忆

实数将有理数和无理数结合在一起，为一条无穷直线上的每一点都提供了一个数字与之对应。

每个实数都是一个有理数无穷序列的极限。