以极聪明的方式，让你三步读懂数学

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：对这个问题的证明是反证法的典例，它说明了，没有任何一个有理数在取平方之后恰好得到2。它们开始被看作无限趋近某一数值的有理数无穷序列，也就是说，它们被视作极限。

上图：π是圆的周长与其直径的比值，是最有名且最难理解的无理数之一。

1.多维度看全

假设你有一个面积为2个单位的正方形，它的边长是多少？

这样的正方形毫无疑问是存在的，至少在数学意义上存在，它的边长也很好求得，为面积的平方根，即，这是一个在1和2之间某处的数。

自毕达哥拉斯的时代起，我们就已经知道，不能被写成分数形式。对这个问题的证明是反证法的典例，它说明了，没有任何一个有理数在取平方之后恰好得到2。所以我们将作为无理数的一例。

直到19世纪，无理数才被人们所理解。它们开始被看作无限趋近某一数值的有理数无穷序列，也就是说，它们被视作极限。

2.关键点梳理

有理数看上去似乎定义了所有可能的量。如果我问你某个人的身高是多少，你可以用分数来回答，并且要多精确就有多精确。

你可以限定小数点后是几位数。这个小数其实是一个“乔装打扮”的有理数。小数位越多，数值就越精确。

但如果想要写一个无理数，我们需要用到小数位上的数字并无规律可循的无穷小数。

参考阅读//(https://www.chuimin.cn)

No. 3 反证法，第10页

No. 4 极限，第12页

No. 20 负数，第44页

No. 21 有理数，第46页

No. 22 幂，第48页26 实数，第56页

右图：2的平方根作为无理数，其所具备的特性对古希腊人的传统概念是颠覆性的挑战。

3.一分钟记忆

无理数和有理数是不可分割的，你可以把它们看作无穷小数。

我们将不能被写成两个整数的比值的数称为无理数。