幂乘再乘：理解自然数幂与数学计算

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：如果n是一个自然数，An就表示A乘以自身n次。基础代数告诉我们，Am应是1/A2，因此我们将负数幂看作“正数幂分之一”。现在，假设(A2 )m=A1——我们将A平方之后再取平方根便会产生这个结果。参考阅读//No. 8 积，第20页No. 14 自然数，第32页No. 20 负数，第44页No. 21 有理数，第46页No. 25 无理数，第54页No. 30 超越数，第64页右图：自然数幂与面积、体积以及更高维计算相关。

1.多维度看全

用边长乘以边长可以得到正方形的面积，如果L是边长，那么L²就是面积。用这个方法，先用边长乘以边长求出一个面的面积，再乘以一次边长，就可以求出立方体的体积，写成L³。上述这些不断乘以同一个值的过程是幂最基础的形式，并且有着一定的历史渊源。

尽管幂的这一现代符号是经过很长时间逐步发展出来的，它却掩盖了这一概念的统一性和广度。幂可以拓展为负数幂和分数幂，甚至是其他数字系统里的数，从而得出许多实用而优美的结论。和积类似，升次到一个幂（也叫作取幂），甚至可以推广至许多数字以外的数学对象。

2.关键点梳理

设A为任意数。如果n是一个自然数，Aⁿ就表示A乘以自身n次。我们可以证明Aⁿ×A^m=A^(m+n) ，这需要我们先规定好：A¹=A和A⁰=1。这两条是确保Aⁿ×A^m=A^m+n对于所有的n和m都成立的常规条件。

现在，假设A²×A^m=A⁰ ，为保证前后一致，只能有m=-2。基础代数告诉我们，A^m应是1/A²，因此我们将负数幂看作“正数幂分之一”。

自然数幂还有一个公式：(Aⁿ )^m=A^m×n。现在，假设(A² )^m=A¹——我们将A平方之后再取平方根便会产生这个结果。然而，2×m=1意味着，因此分数幂意味着取根。