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2023-11-22
希尔伯特旅馆部分等于整体
【摘要】：这个概念虽在哲学领域至今尚无定论，但数学家们大多已经理解并接受希尔伯特旅馆假设延展出的内涵了。参考阅读//No. 5 逻辑，第14页No. 7 集合论，第18页No. 14 自然数，第32页3.一分钟记忆给定一个由所有自然数构成的无穷集合，我们可以由无穷集基数推出许多颠覆直观认知的结果。
1.多维度看全
1924年，大卫·希尔伯特提出了下面的假设。假设存在一间有无穷多个房间的旅馆，和一般的旅馆一样，每个房间都标有一个自然数来作房间号。不同的是，这一次，每个自然数都对应一个房间。再进一步假设，现在每个房间都已经住了人。
随后，来了一位新客人想要入住。我们怎样才能在所有房间都有人的情况下，给他安排出一个空房间呢？有一个简单的方法：让所有客人都搬到原来房间的下一个房间，就是房间号比原来的大一个数的房间。这个方法是可行的，因为对每个自然数而言，我们都能找到它的下一个数。这样一来，新客人就可以住进空出来的第一间房了。
我们还可以开展更多的操作，比如让所有客人搬到房间号是原来的两倍的房间。请注意，这依旧是个可行的操作，因为对于每个自然数n而言，2×n也是一个自然数。这样一来，现在只有双数房号的房间有人住，其余的无穷多个奇数房号的房间都空出来了！
上图：阿列夫零用来指一个可数无穷集的基数。
2.关键点梳理
“希尔伯特旅馆”展现了无穷集合独有的一个性质：部分可以与整体具有相等的大小。我们用基数来表示集合的大小，对无穷集基数的研究也是集合论领域最核心的课题之一。
无穷集基数的特性十分有悖常理，以至于至少在康托尔之前，大多数人相信“无穷”是个本质上矛盾的概念，并不能在数学界占据一席之地。这个概念虽在哲学领域至今尚无定论，但数学家们大多已经理解并接受希尔伯特旅馆假设延展出的内涵了。(www.chuimin.cn)
参考阅读//
No. 5 逻辑，第14页
No. 7 集合论，第18页
No. 14 自然数，第32页
3.一分钟记忆
给定一个由所有自然数构成的无穷集合，我们可以由无穷集基数推出许多颠覆直观认知的结果。
一个无穷集的部分可以与整体大小相等。
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