自然数14作为计数数:用直观方式，轻松读懂数学

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：朱塞佩·皮亚诺是第一个将常规算术用现代逻辑语言公理化的人。参考阅读//No. 1 公理、定理和证明，第6页No. 2 归纳，第8页No. 6 哥德尔不完全性定理，第16页No. 17 质数，第38页No. 20 负数，第44页右图：用来计数的数字是我们在孩童时期首先了解到的数学对象。归纳法可以使自然数的研究更具价值。

朱塞佩·皮亚诺（1858—1932）是第一个将常规算术用现代逻辑语言公理化的人。

1.多维度看全

每个孩子都会学习用常规的自然数（整数）计数。先从1、2、3、4数起，然后依次往下，想数到几就数到几，只需要不断地把数字加1（0是否包括在内，要看具体的规定与使用习惯）。自然数集是一个无穷集，不存在最大的自然数，而这个结论正好开启了我们对自然数更深层次的研究。

自然数是历史最悠久的数学对象，同时也是最寻常的数学对象，但它们还是可以引出一些有难度的问题的。数论就是研究它们的数学分支，这是为数不多的包含一些无须过多技术支持就能陈述和理解，却又长期未能被解决的数学问题的分支之一。

我们可以任意对自然数做加法和乘法，然后得到另一个自然数，但我们不能任意对它们做减法和除法，因为最终得出的结果可能不再是一个自然数。我们可以用一些正式的公理，比如朱塞佩·皮亚诺提出的公理（1889年）来描述常规算术。因为其表述简单，所以自然数算术公理经常被用于逻辑检测。

2.关键点梳理

自然数理论中最基本的原理就是归纳。有了它的帮助，我们就可以通过不断重复某个单一的步骤，将自然数加至无穷。小孩子都明白，你可以通过不断地加1，由一个数得到下一个数。皮亚诺公理称之为后继运算，并将其记为S(3)=4，而不是通常的3+1=4。

参考阅读//

No. 1 公理、定理和证明，第6页(www.chuimin.cn)

No. 2 归纳，第8页

No. 6 哥德尔不完全性定理，第16页

No. 17 质数，第38页