举例来讲，我们可以将几何课本中所讲的二维空间视为一条线与另一条线相乘的结果，而想要得到我们所处的三维空间，我们只需将二维空间再“乘以”一条线。参考阅读//No. 7集合论，第18页No. 35 抽象代数，第74页No. 59 欧几里得空间，第122页3.一分钟记忆不是只有数才可以作乘法，积的观点可以被推广到任意两个集合之间。......
2025-09-30
3步读懂数学，以极聪明方式阐述
【摘要】：具体来讲，范畴论致力于理解带来突破的天才想法或洞察背后的思维模式。范畴论的目标之一，就是使普通人也能发现数学家能发现的模式。早期，范畴论一直被贬为“抽象化与普遍化的无意义”，或是被调侃为“漫画书数学”，因为它侧重使用一些简单的图表而非符号或口头论述，但范畴论在实际问题解决方面所取得的成绩，让这些批评的声音逐渐消退。
1.多维度看全
数学界会经常通过抽象化和普遍化来取得进展。察觉到某一模式在许多地方反复出现，将它从这些特定场景中抽离出来，并寻找还有哪些地方出现过这个模式，是很有效的做法。这种普遍化的思路可以被广泛应用在不同的问题上。
范畴论的核心思想在于，数学与数学家的思考，都遵循着某种模式。具体来讲，范畴论致力于理解带来突破的天才想法或洞察背后的思维模式。范畴论的目标之一，就是使普通人也能发现数学家能发现的模式。
早期，范畴论一直被贬为“抽象化与普遍化的无意义”，或是被调侃为“漫画书数学”，因为它侧重使用一些简单的图表而非符号或口头论述，但范畴论在实际问题解决方面所取得的成绩，让这些批评的声音逐渐消退。
下图：正合序列（从左至右）和自然变换（自上至下）是范畴论的核心内容。
2.关键点梳理
一个范畴由两部分组成：一组对象和一组对象之间的映射，即态射。其中态射需要遵循一些简单的规则。这些对象可能是集合，也可能不是；同样，这些态射可能是映射，也可能不是。
这种处理方式的核心在于函子，两个范畴内的对象和态射可以通过函子来建立联系。它能帮我们把某个数学领域的知识变换为另一个领域的知识，从而快速地得出有力的新结果。
参考阅读//
No. 7 集合论，第18页(https://www.chuimin.cn)
No. 9 映射，第22页
No. 35 抽象代数，第74页
No. 84 代数拓扑，第172页
No. 88 希尔伯特零点定理，第180页
右图：将某个特定条件下的想法抽象化至一般形式，便于在其他条件下应用它。
3.一分钟记忆
许多数学对象会时常呈现出某些重复出现的模式，即便它们看起来并不相像，而范畴论就在试图捕捉并分析这些模式。
研究“数学的数学”，可以得到十分具有实用意义的结果。
相关文章
- 详细阅读
-
2页纸图解数学:极聪明方式构造数学相等关系详细阅读
施罗德-伯恩斯坦定理就是一个非常实用的例子。这时，椅子的数量和学生的数量一定相等。参考阅读//No. 7 集合论，第18页No. 9 映射，第22页No. 11 逆，第26页No. 16 希尔伯特旅馆，第36页右图：一个函数f与它的逆函数f -1。......
2025-09-30
-
轻松掌握极聪明的数学技巧详细阅读
许多过程都可以用极限来模拟，放射性衰变就是其中一例。极限就为表述这种最终状态，尤其是越来越接近某个值，却从未到达这个值的无穷过程的最终状态提供了一种方式。参考阅读//No. 26 实数，第56页No. 53 微积分基本定理，第110页3.一分钟记忆有些无穷过程属于那种逐渐趋近某种状态，而永远不会达到那种状态的情况。一个有极限值存在的过程会越来越接近它的极限值。......
2025-09-30
-
极简主义风格的数学家，数学专家以2页纸图解方详细阅读
欧几里得1.多维度看全约公元前300年，欧几里得完成了他的鸿篇巨作——《几何原本》。后来的数学作者们纷纷效仿、参照欧几里得的数学思路进行专业文本的写作。现在，从教科书到研究论文，所有文本都采用公理、定理和证明这种写作形式。参考阅读//No. 7 集合论，第18页No. 13 范畴，第30页No. 14 自然数，第32页右图：不同版本欧几里得《几何原本》的书页，这是迄今为止最有影响力的数学著作。......
2025-09-30
-
无法证明的：3步读懂最聪明的方式！详细阅读
而哥德尔的两条不完全性定理让他们的希望破灭了，因为这些定理证明了，一个具备一致性且有一定研究价值的数学理论，往往又会是不完备的。哥德尔第二定理说的是，这样的理论无法证明它自身的一致性。......
2025-09-30
-
用极聪明方式攻克，等价划分问题详细阅读
我们称这些子集为等价类。等价关系作为一个二元关系，还被三个额外的公理定义。最后，如果a≈b和b≈c均为真，那么a≈c也一定为真。参考阅读//No. 1 公理、定理和证明，第6页No. 7 集合论，第18页No. 8 积，第20页3.一分钟记忆等价关系的存在可以使我们将一个集合划分为几个等价类。......
2025-09-30
-
英国数学课程简介—《数学教学论》阐述详细阅读
可见，英国大学的数学教育与德国相反，完全处于空白状态。英国伟大的学者培根、牛顿等人才辈出，对英国大学的数学教育带来很大影响。1707年剑桥大学制定的有关自然科学方面的数学课程计划内容丰富多彩。当时，英国中学的课程计划没有统一规定，各年级的数学课程和数学课时都不一样。英国是考试国家，实际上，从1869年至1892年，一大批数学教科书都是为考试目的而写的。......
2025-09-29
-
最强数学图解书，让你轻松读懂数学详细阅读
接下来，试着厘清其可能导致的结果，或许就会发现矛盾。此外，如果一个命题为真，那么它所有的蕴涵命题均为真。参考阅读//No. 5 逻辑，第14页No. 14 自然数，第32页No. 27 康托尔对角线论证，第58页No. 54 病态函数，第112页No. 69 不可能的构造，第142页布尔代数的部分内容：如果一组命题为真，那么指向它的一组子命题不可能为假。如果一个命题为真，那么它所有的逻辑结果也同样为真。......
2025-09-30
相关推荐